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EXERCICES
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1) Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur R, C ou H,
@ et CD' deux formes hermitiennes positives non dégknérées sur E.
On suppose que U(@) c U(Q1). Montrer que 0 et Q>' sont proportionnelles. (Utiliser le fait qu'il existe une base orthonormale (el, . . ., en)
pour @ qui est orthogonale pour ai'. L'application u E 2(E, E) telle
que u(e,) = e,, u(ej) = e,, u(e,) = e, pour k # i, j, appartient à Il(@)).
2) On adopte les notations du lemme 7. Montrer que R est de
complémentaire négligeable dans GL(n, K) pour la mesure de Haar.
(Raisonner comme pour la prop. 6.)
7 3) Soit X un espace localement compact dans lequel un groupe
localement compact H opère à droite, continûment et proprement,
par (x, c) -+ x5. (x E X, 5 E H). Soit x l'application canonique X -+ X/H.
Soit p une reprksentation continue de H dans GL(n, C). Montrer que,
pour tout b E: X/H, il existe un voisinage U de b dans X/H et une application continue r de x-l(U) dans GL(n, C) telle que r(x5.) = r(x)p(E)
quels que soient x E x-l(U) et 5. E H. (On peut supposer X/H compact.
Soit f une fonction continue 2 O sur X, non identiquement nulle sur
chaque orbite, et à support compact. Poser
p désignant une mesure de Haar à gauche sur H. Montrer que, pour f
et U bien choisis, on a r(x) E GL(n, C) pour tout x E r l ( U ) ) .
4) Soit K un corps commutatif localement compact non discret.
Soit A une algèbre de rang fini sur K.
a) Soit T(n, A) l'algbbre des matrices (x,) EM,(A) telles que
xi, = O pour i > j. Montrer que, si M = (m,,) E T(n, A), on a
(Utiliser le lemme 6.)
b) Soit T(n, A)* le groupe des éléments inversibles de T(n, A).
Soit M = (m,,) E T(n, A). Montrer que M E T(n, A)* si et seulement
si m,, est inversible dans A quel que soit i.
c) Montrer qu'une mesure de Haar à gauche sur T(n, A)* est
oh cc désigne une mesure de Haar du groupe additif de A.
d ) Montrer que si NA/, = NA./, , on a
EXERCICES
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1) Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur R, C ou H,
@ et CD' deux formes hermitiennes positives non dégknérées sur E.
On suppose que U(@) c U(Q1). Montrer que 0 et Q>' sont proportionnelles. (Utiliser le fait qu'il existe une base orthonormale (el, . . ., en)
pour @ qui est orthogonale pour ai'. L'application u E 2(E, E) telle
que u(e,) = e,, u(ej) = e,, u(e,) = e, pour k # i, j, appartient à Il(@)).
2) On adopte les notations du lemme 7. Montrer que R est de
complémentaire négligeable dans GL(n, K) pour la mesure de Haar.
(Raisonner comme pour la prop. 6.)
7 3) Soit X un espace localement compact dans lequel un groupe
localement compact H opère à droite, continûment et proprement,
par (x, c) -+ x5. (x E X, 5 E H). Soit x l'application canonique X -+ X/H.
Soit p une reprksentation continue de H dans GL(n, C). Montrer que,
pour tout b E: X/H, il existe un voisinage U de b dans X/H et une application continue r de x-l(U) dans GL(n, C) telle que r(x5.) = r(x)p(E)
quels que soient x E x-l(U) et 5. E H. (On peut supposer X/H compact.
Soit f une fonction continue 2 O sur X, non identiquement nulle sur
chaque orbite, et à support compact. Poser
p désignant une mesure de Haar à gauche sur H. Montrer que, pour f
et U bien choisis, on a r(x) E GL(n, C) pour tout x E r l ( U ) ) .
4) Soit K un corps commutatif localement compact non discret.
Soit A une algèbre de rang fini sur K.
a) Soit T(n, A) l'algbbre des matrices (x,) EM,(A) telles que
xi, = O pour i > j. Montrer que, si M = (m,,) E T(n, A), on a
(Utiliser le lemme 6.)
b) Soit T(n, A)* le groupe des éléments inversibles de T(n, A).
Soit M = (m,,) E T(n, A). Montrer que M E T(n, A)* si et seulement
si m,, est inversible dans A quel que soit i.
c) Montrer qu'une mesure de Haar à gauche sur T(n, A)* est
oh cc désigne une mesure de Haar du groupe additif de A.
d ) Montrer que si NA/, = NA./, , on a