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INTÉGRATION
chap. VII, 9 3
5 ) On munit Rn de la forme quadratique xf + xi + . . . + x i .
Soit G, le groupe des déplacements de déterminant 1 de Rn.
a) Montrer que G, est unimodulaire.
b) Tout élément de G, se met de manière unique sous la forme
(x, y) -+ (u + x cos w - y sin w, v + x sin w + y cos w)
où LI, u sont dans R et où w est un élément du groupe O des angles
de demi-droites, isomorphe à U. Montrer que du @ du 8 d a (où d o est
une mesure de Haar sur 0) est une mesure de Haar sur G,.
6) Soit P l'ensemble des nombres complexes z = x t. iiy dont la
partie imaginaire est > O. Montrer que SL(2, R) opére transitivement
et continûment à gauche dans P par
et que P devient ainsi un espace homogène topologique pour SL(2, R).
Montrer que y-,dx dy est une mesure invariante sur P.
7) Soient G le groupe unimodulaire SL(n, R), l? le sous-groupe
de G formé des matrices de déterminant 1 à coefficients entiers. Montrer, par récurrence sur n, que toute mesure invariante y sur l'espace
homogène G / r est bornée e t que, pour f E .Y(Rn), on a, en choisissant
convenablement p
(X = XI'). (Soit G' le sous-groupe de G laissant invariant le vecteur
de base (1, 0, 0, . . .,O), de sorte que G/G1 peut être identifié à Rn.
Soit G1' = G1 t l I ' . Soit H le sous-groupe des matrices
( O Y) de
G' pour lesquelles Y E SL(n - 1, R) a ses éléments entiers. Alors H/G1'
est compact, et, grâce A l'hypothèse de récurrence, G1/H a une mesure
invariante finie, donc, d'aprés la prop. 12, 3 2, no 8, G'/G1I est de mesure
invariante finie. Appliquant l'exerc. 6 du $ 2, et l'exerc. 20 b) d'Alg.,
chap. VII, $ 4, montrer que, pour f E .Y(Rn),
où la sommation porte sur les vecteurs m = (ml, . . . , m,) dont les coordonnées sont des entiers étrangers dans leur ensemble. En appliquant
ceci aux fonctions f(2x), f(3x), . . . et en sommant, prouver (1). Puis,
remplaçant f par la fonction x - znf(~x) avec f > 0, et faisant tendre E
vers O, montrer que toute partie compacte de G / r a une mesure 4 1).
8) a ) Montrer qu'il existe sur Sn-, une mesure on-, invariante
par O(n, R) et une seule à une constante près (considérer Sn-, comme espace
homogène pour O(n, R)).
b) L'application (t, z) - tz permet d'identifier l'espace topologique
INTÉGRATION
chap. VII, 9 3
5 ) On munit Rn de la forme quadratique xf + xi + . . . + x i .
Soit G, le groupe des déplacements de déterminant 1 de Rn.
a) Montrer que G, est unimodulaire.
b) Tout élément de G, se met de manière unique sous la forme
(x, y) -+ (u + x cos w - y sin w, v + x sin w + y cos w)
où LI, u sont dans R et où w est un élément du groupe O des angles
de demi-droites, isomorphe à U. Montrer que du @ du 8 d a (où d o est
une mesure de Haar sur 0) est une mesure de Haar sur G,.
6) Soit P l'ensemble des nombres complexes z = x t. iiy dont la
partie imaginaire est > O. Montrer que SL(2, R) opére transitivement
et continûment à gauche dans P par
et que P devient ainsi un espace homogène topologique pour SL(2, R).
Montrer que y-,dx dy est une mesure invariante sur P.
7) Soient G le groupe unimodulaire SL(n, R), l? le sous-groupe
de G formé des matrices de déterminant 1 à coefficients entiers. Montrer, par récurrence sur n, que toute mesure invariante y sur l'espace
homogène G / r est bornée e t que, pour f E .Y(Rn), on a, en choisissant
convenablement p
(X = XI'). (Soit G' le sous-groupe de G laissant invariant le vecteur
de base (1, 0, 0, . . .,O), de sorte que G/G1 peut être identifié à Rn.
Soit G1' = G1 t l I ' . Soit H le sous-groupe des matrices
( O Y) de
G' pour lesquelles Y E SL(n - 1, R) a ses éléments entiers. Alors H/G1'
est compact, et, grâce A l'hypothèse de récurrence, G1/H a une mesure
invariante finie, donc, d'aprés la prop. 12, 3 2, no 8, G'/G1I est de mesure
invariante finie. Appliquant l'exerc. 6 du $ 2, et l'exerc. 20 b) d'Alg.,
chap. VII, $ 4, montrer que, pour f E .Y(Rn),
où la sommation porte sur les vecteurs m = (ml, . . . , m,) dont les coordonnées sont des entiers étrangers dans leur ensemble. En appliquant
ceci aux fonctions f(2x), f(3x), . . . et en sommant, prouver (1). Puis,
remplaçant f par la fonction x - znf(~x) avec f > 0, et faisant tendre E
vers O, montrer que toute partie compacte de G / r a une mesure 4 1).
8) a ) Montrer qu'il existe sur Sn-, une mesure on-, invariante
par O(n, R) et une seule à une constante près (considérer Sn-, comme espace
homogène pour O(n, R)).
b) L'application (t, z) - tz permet d'identifier l'espace topologique