APPENDICE II
Lemme 1. - Soient X, B deux espaces localement compacts,
n une application de X dans B, v une mesure positive sur B.
Soit b - A, (b E B) une famille v-adéquate de mesures positives
sur X telle que, pour tout b EB, la mesure 1, soit concentrée
sur n-l(b). Posons p = h,dv(b), et supposons que l'application
S
x soit p-mesurable.
a) Si N c B est localement v-négligeable, n-l(N) est localement p-négligeable.
b) Si f est une fonction v-mesurable sur B (à valeurs dans
un espace topologique), f O rr est p-mesurable sur X.
Soit K une partie compacte de X. Il s'agit de prouver
que n-1(N) n K est p.-négligeable et que la restriction de f O x
à K est p-mesurable. Or K est réunion d'un ensemble p-négligeable e t d'une suite de parties compactes K, telles que xlK,
soit continue. Il suffit de montrer que r l ( N ) n K, est p-négligeable et que la restriction de f o n à K, est p-mesurable. On
supposera donc désormais que nlK est continue. Alors x(K)=K'
est compact. Comme x-l(N) n K = n-l(N n K') n K, et que
N n K' est v-négligeable, on supposera désormais que N est
v-négligeable. Alors N est contenu dans un ensemble v-négligeable N', intersection dénombrable d'ensembles ouverts (chap.
IV, § 4, no 6, cor. 2 du th. 4). Comme n est p-mesurable, x-l(N1)