APPENDICE 1
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F,(x) > O et a fortiori F(x) > 0 ; ceci prouve que F posséde la
propriété a). Enfin, soit K une partie compacte de X/R. Il
existe une partie finie J de 1 telle que, pour r E 1 - 3, on ait
U, n K = 0, donc x-l(K) n Supp F, = 0. Alors
est compact.
Lemme 2. - Soient G un groupe localement compact dénombrable à l'infini, M un espace de Baire. Supposons que G opère
à gauche continûment et transitivement dans M. Pour tout x E M,
soit H, le stabilisateur de x dans G, de sorte que l'application
s - sx de G sur M définit par passage au quotient une bijection
continue cp, de G/H, sur M. Alors cp, est un homéomorphisme de
G/H, sur M (autrement dit (Top. gin., chap. III, 3 e éd., 5 2,
no 5 ) M est un espace homogène topologique).
Soit x, E M. Il suffit de prouver ([oc. cit., prop. 15) que l'application s - sx, transforme tout voisinage V de e dans G en un
voisinage de x, dans M. Soit W un voisinage compact symétrique de e tel que W2 c V. Par hypothèse, G est réunion d'une
suite d'ensembles compacts, donc d'une suite de translatés
(s,W) de W. Alors M est réunion de la suite d'ensembles compacts (s,Wx,). Comme M est un espace de Baire, il existe un
indice n tel que s,Wx, admette un point intérieur s,wx, (w E W).
Par suite, x, est point intérieur de
de sorte que Vx, est un voisinage de x, dans M.
BOURBAKI. XXIX
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F,(x) > O et a fortiori F(x) > 0 ; ceci prouve que F posséde la
propriété a). Enfin, soit K une partie compacte de X/R. Il
existe une partie finie J de 1 telle que, pour r E 1 - 3, on ait
U, n K = 0, donc x-l(K) n Supp F, = 0. Alors
est compact.
Lemme 2. - Soient G un groupe localement compact dénombrable à l'infini, M un espace de Baire. Supposons que G opère
à gauche continûment et transitivement dans M. Pour tout x E M,
soit H, le stabilisateur de x dans G, de sorte que l'application
s - sx de G sur M définit par passage au quotient une bijection
continue cp, de G/H, sur M. Alors cp, est un homéomorphisme de
G/H, sur M (autrement dit (Top. gin., chap. III, 3 e éd., 5 2,
no 5 ) M est un espace homogène topologique).
Soit x, E M. Il suffit de prouver ([oc. cit., prop. 15) que l'application s - sx, transforme tout voisinage V de e dans G en un
voisinage de x, dans M. Soit W un voisinage compact symétrique de e tel que W2 c V. Par hypothèse, G est réunion d'une
suite d'ensembles compacts, donc d'une suite de translatés
(s,W) de W. Alors M est réunion de la suite d'ensembles compacts (s,Wx,). Comme M est un espace de Baire, il existe un
indice n tel que s,Wx, admette un point intérieur s,wx, (w E W).
Par suite, x, est point intérieur de
de sorte que Vx, est un voisinage de x, dans M.
BOURBAKI. XXIX