APPENDICE 1
Lemme 1. - Soient X u n espace localement compact, R
une relation d'équivalence ouverte dans X , telle que l'espace
quotient X / R soit paracompact ; soit x l'application canonique
de X sur X/R. II existe une fonction F 2 O continue dans X
telle que :
a) F n'est identiquement nulle sur aucune classe suivant R ;
b) pour foufe partie compacte K de X/R, l'iniersection de
r l ( K ) avec Supp F est compacfe.
A tout point u E X / R , associons une fonction f, E Y + ( X )
telle que f, ne soit pas identiquement nulle sur r l ( u ) ; soit
Qu l'ensemble ouvert des points où f, > O ; on a donc u E x(Q,).
Comme x est une application ouverte, les x(C2,) forment un recouvrement ouvert de X / H . Il existe un recouvrement ouvert
localement fini, plus fin que le recouvrement par les
x(Q,), puis (Top. gén., chap. I X , 2e éd., 5 4, no 3, prop. 3) une
partition de l'unité (qJLEI sur X / H subordonnée au recouvrement (U,). Pour tout L E 1, choisissons un u , tel que U , c x(Q,l).
La fonction F, = (g, O x).fuL appartient à Y ( X ) et a son support contenu dans x-l(U,). Les supports des F, forment donc
une famille localement finie, de sorte qu'on définit une fonction
continue F 3 O sur X en posant F =
F, . Pour tout u E X/R,
sI
il existe un L tel que g,(u) > O donc u E U, ; puis il existe un
x E Qu, tel que x ( x ) = u ; alors f,,(x) > O et g,(x(x)) > O, donc