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INTÉGRATION
chap. VII, 8 3
de l'espace vectoriel réel 5. Si y désigne la mesure de Haar du
groupe additif 8, on a X - I ( ~ ) = Idet Z I . p (8 1, no 10, prop. 15).
Montrons que
où N désigne la norme dans Mn(K) considérée comme R -algèbre,
6-2
et où A = l - -
. 11 suffit de vérifier (15) pour X parcou6n
rant un système de générateurs de GL(n, K), donc (Alg.,
chap. II, 3e éd., 8 10, no 13) pour des X des types suivants :
a) X est la matrice d'une application de la forme
où o E G,. Dans ce cas, une puissance de X est égale A 1, donc
ldet XI = IN(X)I = 1.
b) X est la matrice d'une application de la forme
-Alors, si (h,,) E 9, on a z((h,,)) = (hi,) avec hi, = ah,,a
= lai2 hl,, hii = ahli pour i > 1, hij hi, pour i > 1, j > 1 ;
donc
-
(det XI = la121al"n-1) = la12+8(n-l).
D'autre part, si Y = (y,,) E M,(K), on a X Y = (y;,) avec
y;, = ay,, et y;, = yi, pour i > 1 ; donc [N(X)I = /alsn. La
formule (15) est encore vérifiée.
c) X est la matrice d'une application de la forme
On a ( h i = ( h ) avec h i , = hlll hi, = hl, +h,,b,
hi, = hli pour
i > 2, h',, = h,, + bh,, + h12b + bh,,b,
hLi = h,, + bh,, pour i > 2, hi, = hi, pour i > 2, j > 2.
Compte tenu du lemme 6, on voit que Idet 2 1 = 1. On vérifie
de même que IN(X)I = 1, ce qui achève de prouver la formule
(15).