no 3
APPLICATIONS ET EXEMPLES
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Exemple 8. - Espaces de formes hermitiennes.
Dans cet exemple, K désigne toujours l'un des corps R,
C, H. On posera 6 = dimRK (donc 6 = 1, 2 ou 4). Une forme
hermitienne sur l'espace vectoriel à droite Kn s'écrit
avec hi, =Fi quels que soient i et j. Notons !ij l'espace vectoriel sur R formé des matrices hermitiennes de Mn(K). L'application (h,,) - @ est un isomorphisme de $$ sur l'espace vectoriel
des formes hermitiennes sur Kn, par lequel nous identifions
ces deux espaces. Soit $$$I c ! 7~ l'ensemble des formes hermitiennes positives non dégénérées sur Km. L'ensemble !ijT est
convexe dans ! i j ; en effet, si O,, @, sont dans
et si A, p
sont deux nombres > O tels que A + p = 1, il est clair que
h a , + est une forme hermitienne positive ; d'autre part,
si (A@, + pOz)(x, x) = O, on a @,(x, x) = @,(x, x) = O, donc
x = O, de sorte que A@, + pOz est non dégénérée. Montrons
maintenant que 5: est une partie ouverte de 9. Soit S l'ensemble
des x = (x,, . . . , x,) E Kn tels que x,x, + . . . + x,x, = 1 ; c'est
une partie compacte de Kn ; si Q E &: , la fonction x - @(x, x)
est continue et > O sur S, et par suite sa borne inférieure est > O ;
si O' E !ij est suffisamment voisine de @, on a donc Q1(x, x) > O
pour tout x E S, de sorte que O' est positive non dégénérée.
Le groupe linéaire GL(n, K) opkre continûment A droite
dans 9j par (X, @) - @ o X, c'est-à-dire par (X, H) - *K. H .X
si on note H la matrice hermitienne correspondant A 0. Il
est clair que g*, est stable pour GL(n, K). Plus précisément,
d'après Alg., chap. IX, 3 6, no 1, cor. 1 du th. 1, 5jT est l'orbite
n
pour GL(n, K) de la forme
x,yi correspondant A la mai = l
trice unité In. Le stabilisateur de celle-ci est U(n, K). D'après
le lemme de l'app. 2, !ijT s'identifie, comme espace homogène
topologique, à GL(n, K)/U(n, K).
Pour tout X E GL(n, K), soit 2 l'automorphisme