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INTEGRATION
chap. VII, 5 3
homéomorphisme de U(n, K) x D*, x Tl(n, K) sur GL(n, K).
Soit ( E ~ ,
. . . y E,) la base canonique de Kn. Soit X E GL(n, K).
Alors les X. E , = f i constituent une base de E. On peut, A cette
base ( f i ) , associer une base (ei) grâce au lemme 10. Soit U la
matrice de l'automorphisme unitaire de E qui transforme E,
en e , . Alors U-l. f i = E , M , ~ + c2cti2 + . . . + ciai, avec a,, > O
pour i = 1, 2, . . ., n. Donc X = UC, où C est la matrice
E n outre, U et C dépendent continûment de X d'aprks le Iemrne
10. D'autre part, la formule (8) montre que C se met sous la
forme DT avec D E DT, T E T,(n, K), D et T dépendant continûment de C. L'unicité de la décomposition X = UDT résulte
de la propriété d'unicité du lemme 10.
L'homéomorphisme de la prop. 7 s'appelle (( décomposition
d'Iwasawa )) de GL(n, K).
Le groupe G = D r . T,(n, K) est l'ensemble des matrices
triangulaires supérieures sur K dont les éléments diagonaux
sont > O. Identifions l'élément (zSj) de ce groupe A l'élément
Raisonnant exactement comme dans l'exemple 4, on trouve
comme mesure de Haar ci droite sur ce groupe
Appliquant alors la prop. 13 du $ 2, no 9, on voit que, si on identifie GL(n, K) a U(n, K) x G par l'application (U, S ) - US,
une mesure de Haas sur GL(n, K) est
a désignant une mesure de Haar sur U(n, K).