no 3
APPLICATIONS ET EXEMPLES
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Soit E, = flK + f2K + . . . + fiK, qui est de dimension i.
Soit gi un élément non nul de Ei orthogonal a Ei-, et tel que
@(gé, g,) = 1. Par récurrence sur i, on voit que (g,, . . ., g,)
est une base orthonormale de E,. E n particulier, (g,, . . . , g,)
est une base orthonormale de E. Soit Ai = @(gi, fi). Comme
f r bf Ei-, , on a hi f O. Posons ei = g,l h,l h ~ l . On a
donc (el, . . . , ei) est encore une base orthonormale de E i ; en
-
outre, @(et, fi) = 1 h,l hyl@(gi, fi) = 1 hi/ > O, donc les ei possèdent les propriétés de a). Soient (e;, . . . , e;) une autre base
orthonormale de E avec ces mêmes propriétés. On voit par
récurrence sur i que (el, . . . , ei) doit être une base de E i ,
donc e: = eipi avec un pi E K. On a
et O < @(e:, fi) = &O(ei, fi), donc pi > O et pi = 1, donc
pi = 1, d'où a). Supposons prouvé que les ei e t les a , dépendent
continûment de (f,, . . ., f,) pour i < i,, et prouvons que eid
e t les ainj dépendent continûment de (f,, . . . , f,). Pour j < i,,
. -
ai,, = a(/,, e,) dépend continûment de (f ,, . . . , f,) d'après
l'hypothèse de récurrence. D'autre part,
donc a,, in dépend continûment de (f,, . . ., f,). Donc
dépend continûment de (f, , . . . , f,).
Soit désormais E = Kn et prenons pour @ la forme
-
x,y, + . . . + ??,y,. Rappelons qu'on note U(n, K) le groupe
unitaire correspondant. Même si K est non commutatif, nous
noterons encore T,(n, K) le groupe des matrices triangulaires
supérieures de M,(K) dont la diagonale est formée de 1.
PROPOSITION 7. - Soit Df le groupe des matrices diagonales a élémenfs > O. L'application (U, D, T) - UDT est un