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INTÉGRATION
chap. VII, 5 3
que UolE n W soit négligeable. Prenons W = Q. Compte
tenu de b), tout revient à voir que l'ensemble des couples
(M, N) E Tl(n, K) x G; tels que p(UoMN) = O est négligeable
pour pl @ p,. D'après les expressions de pl e t p,z (calculées
aux exemples 3 et 5), ceci résultera du lemme suivant :
Lemme 9. - Soit + un polynôme + O de K[X,, . . ., X,].
Dans l'espace KT, l'ensemble N défini par +(x,, . . ., x,) = O est
négligeable pour la mesure de Haar.
Raisonnons par récurrence sur r. Le lemme est évident
pour r = 1, car alors N est un ensemble fini. E n changeant
au besoin la numérotation des variables, on peut supposer
que + $ K[X,, . . . , X,-,] ; soit
avec m > O et 4, # 0. Dans l'espace KT-l, soit No l'ensemble
défini par $,(zl, . . . , xT-,) = 0, qui est négligeable d'après
l'hypothèse de récurrence. Pour tout (x,, . . . , xr:,_,) $ No, l'ensemble des x, E K tels que (x,, . . ., xT-,, x,) E N est fini, donc
négligeable. Comme K T est dénombrable à l'infini ($ 1, no 10,
cor. de la prop. 13), N I I [(KT-l - No) x KI est négligeable
dans K r (chap. V, $ 8, no 2, cor. 8 de la prop. 5). Donc N est
négligeable.
Exemple 7. - Décomposition d'lwasawa de GL(n, K).
Dans cet exemple, K désigne l'un des corps R, C, R. Si
h E M, on définit h comme égal à h si K = R, comme égal au
conjugué de A si K = C ou H. Soit E un K-espace vectoriel
à droite de dimension n, et soit @ une forme hermitienne positive non dégénérée sur E.
Lemme 10. - Soit (f,, f,, . . . , f,) une base de E.
a) Il existe une base orfhonormale (el, e,, . . . , en) ei une
seule de E telle qu'on ait f i = epi1 + e,cri2 + . . . + eiuii (i = 1,
2, . . ., n) avec aii > O pour tout i.
b) Pour @ fixée, les ei ef les ccii dépendent continument de
(11, . . ., f,) E En-