no 3
APPLICATIONS ET EXEMPLES
89
Soit maintenant Gi c t(T(n, K)") le groupe trigonal spécial inférieur. L'application (M, N) - M. N est une bijection
continue 4 de T,(n, K) x Gi sur une partie SZ' de SL(n, K).
Lemme 8. - a) Soit U = (u,,) E SL(n, K). Pour que U E a ' ,
il faut et il suflt que d e t ( ~ ~ ~ ) k ~ i , ~ < ~
# O pour k = 2, 3, . . ., n.
b) S1' est une partie ouverte de SL(n, K).
c) L'application rjr est un Iroméomorphisme de T,(n, K) x G;
sur Q'.
En effet, soient M E Tl(n, K) et N E t(T(n, K)"). Pour que
M . N E SL(n, K), il faut et il suffit que N E G ; . Donc
et le lemme 8 résulte aussitôt du lemme 7.
PROPOSITION 6. - a) Le groupe SL(n, K) est mimodulaire.
b) Soient p l , p, des mesures de Haar à gauche sur le groupe
trigonal strict supérieur T,(n, K) et sur le groupe trigonal spécial
inférieur G;. L'image de p, @ p, par l'homéomorphisme
(M, N) - M.N-l
de T,(n, K) x G; sur a' est la restriction à S1 d'une mesure de
Haar de SL(n, K).
c) Le complémentaire de Q' dans SL(n, K) est négligeable
pour la mesure de Haar de SL(n, K).
Le groupe GL(n, K) est unimodulaire (exemple l), et
SL(n, K) est un sous-groupe distingué de GL(n, K), donc est
unimodulaire ( § 2, no 7, prop. 10, b)). L'assertion b) résulte de
a), du lemme 8, et de la prop. 13 du $ 2, no 9. Prouvons c).
D'après le lemme 8 a), il suffit de prouver ceci : si p ( ( ~ ~ ) l < i , ~ < * )
est un polynôme, non identiquement nul sur SL(n, K), l'ensemble
E des U E SL(n, K) tels que p(U) = O est négligeable pour la
mesure de Haar. Compte tenu du § 1, no 10, cor. de la prop. 13,
la topologie de SL(n, K) est a base dénombrable. Il suffit donc
de prouver que, pour tout U , E E, il existe un voisinage de
Cr, dans SL(n, K) dont l'intersection avec E est négligeable ; ou
enoore qu'il existe un voisinage W de I dans SL(n,K) tel
APPLICATIONS ET EXEMPLES
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Soit maintenant Gi c t(T(n, K)") le groupe trigonal spécial inférieur. L'application (M, N) - M. N est une bijection
continue 4 de T,(n, K) x Gi sur une partie SZ' de SL(n, K).
Lemme 8. - a) Soit U = (u,,) E SL(n, K). Pour que U E a ' ,
il faut et il suflt que d e t ( ~ ~ ~ ) k ~ i , ~ < ~
# O pour k = 2, 3, . . ., n.
b) S1' est une partie ouverte de SL(n, K).
c) L'application rjr est un Iroméomorphisme de T,(n, K) x G;
sur Q'.
En effet, soient M E Tl(n, K) et N E t(T(n, K)"). Pour que
M . N E SL(n, K), il faut et il suffit que N E G ; . Donc
et le lemme 8 résulte aussitôt du lemme 7.
PROPOSITION 6. - a) Le groupe SL(n, K) est mimodulaire.
b) Soient p l , p, des mesures de Haar à gauche sur le groupe
trigonal strict supérieur T,(n, K) et sur le groupe trigonal spécial
inférieur G;. L'image de p, @ p, par l'homéomorphisme
(M, N) - M.N-l
de T,(n, K) x G; sur a' est la restriction à S1 d'une mesure de
Haar de SL(n, K).
c) Le complémentaire de Q' dans SL(n, K) est négligeable
pour la mesure de Haar de SL(n, K).
Le groupe GL(n, K) est unimodulaire (exemple l), et
SL(n, K) est un sous-groupe distingué de GL(n, K), donc est
unimodulaire ( § 2, no 7, prop. 10, b)). L'assertion b) résulte de
a), du lemme 8, et de la prop. 13 du $ 2, no 9. Prouvons c).
D'après le lemme 8 a), il suffit de prouver ceci : si p ( ( ~ ~ ) l < i , ~ < * )
est un polynôme, non identiquement nul sur SL(n, K), l'ensemble
E des U E SL(n, K) tels que p(U) = O est négligeable pour la
mesure de Haar. Compte tenu du § 1, no 10, cor. de la prop. 13,
la topologie de SL(n, K) est a base dénombrable. Il suffit donc
de prouver que, pour tout U , E E, il existe un voisinage de
Cr, dans SL(n, K) dont l'intersection avec E est négligeable ; ou
enoore qu'il existe un voisinage W de I dans SL(n,K) tel