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INTEGRATION
chap. VII, 5 3
une bijection continue cp de T,(n, K) x t(T(n, K)*) sur une
partie Q de GL(n, K).
Lemme 7. - a) Soit U = (u,,) E GL(n, K). Pour que U E SZ,
il faut et il sufit que d e t ( ~ , ) s ~ , , ~ , ,
# O pour k = 2, 3, . . . , n.
b) i2 est une partie ouverte de GL(n, K).
c) L'application cp est un homéomorphisme de
Eo x t(T(n, KI*)
sur Q.
Pour que U E Q , il faut et il sufit qu'il existe un
tel que ZU ~ t ( T ( n ,
K)) (on aura alors nécessairement
Z U E t(T(n, K)*) puisque U et Z sont inversibles). D'après ce
qu'on a vu plus haut, si Z existe, il est unique. Donc, pour
que U E 52, il faut et il s u E t que le système linéaire
(où (z,,) E T,(n, K)) admette une solution unique. Or ce système peut s'écrire
Pour i fixé, on a un système de n - i équations par rapport
aux inconnues z ; , ~ + I , Zi,i+z> . . . , Zi,, ; pour que ces systemes
admettent des solutioils uniques, il faut- e t il sufit que
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pour i = 1, 2, . . . , n - 1. Ceci prouve a). 11 en résulte que Q
est ouvert dans GL(n, 10. D'autre part, en résolvant le système (13) par les formules de Cramer, on obtient les zi, comme
fonctions~rationnelles des uij à dénominateurs non nuls dans
R, donc Z dépend continûment de U dans R, ce qui prouve c).