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INTEGRATION
chap. VII, 8 1
par G. En particulier, si G est transitif dans X, ce support
est ou bien vide (si p. = O) ou bien égal à X (si p # O).
Lemme 1. - Soient X , Y, Z trois espaces topologiques,
Y étant localement compact. Soit (x, y) - x y une application
continue de X x Y dans Z , qui définit une application x - u,
de X dans g ( Y ; Z ) par la relation u,(y) = xy. Soient f une
fonction continue dans Z , a valeurs dans R ou dans u n espace
de Banach, S le support de f, et p une mesure sur Y . On suppose
que, pour tout x, E X , il existe u n voisinage V de x, dans X
tel que U u i l ( S ) soit relativement compact dans Y . Alors :
xsv
a) pour tout x E X , f O u , est continue dans Y et à support
compact ;
b) l'application x - f(xy)dp(y), qui est définie d'aprds
a), est continue dans X .
S*
L'assertion a) est évidente. Prouvons b). Comme la
continuité est une propriété locale, on se ramène au cas où
U ugl(S) est contenu dans une partie compacte Y' de Y.
XEX
Comme la fonction (x, y) - f ( x y ) est continue dans X x Y, f O u ,
tend uniformément dans Y' vers f O u , quand x tend vers x,
(Top. Gén., chap. X , 2 e éd., 5 3, no 4, th. 3), donc p(f O u,) tend
vers ,u(f O use). D'où le lemme.
Revenons maintenant aux notations antérieures.
PROPOSITION 1 . - Supposons G localement compact. Soit
p une mesure relativement invariante non nulle sur X . Alors
son multiplicateur x est une fonction continue dans G.
E n effet, soient f E Z(X), S le support de f , s, un point
de G, et V un voisinage compact de s, dans G ; alors