no 1
CONSTRUCTION D'UNE MESURE DE HAAR
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b) On dit que p est relativement invariante par G si y(s)p
est proportionnelle à p pour tout s E G.
c) On dit que p est quasi-invariante par G si y(s)p est équivalente à p pour tout s E G.
Remarques. - 1) Supposons y invariante. Alors ]pl, gp,
9 p sont invariantes. Si p est réelle, pf et p- sont invariantes.
2) Supposons p relativement invariante et non nulle. Il
existe, pour tout s E G, un nombre complexe ~ ( s ) unique tel
que
et la fonction x sur G est une représentation de G dans C*
appelée multiplicateur de p. La formule (5) donne alors
et la formule (6) donne
Avec les conventions faites plus haut, (7) peut aussi s'écrire
3) Comme Iy(s)~l = y(s)(lpl), dire que p est quasi-invariante revient à dire que 1p. 1 est quasi-invariante.
Si p est quasi-invariante e t si pr est une autre mesure
sur X équivalente à p, y(s)pr est équivalente à y(s)p, donc
à p, donc à pl, de sorte que p' est quasi-invariante. Dire que
p est quasi-invariante par G signifie donc que la classe de p
est invariante par G.
Pour que p soit quasi-invariante, il faut et il suffit que
l'ensemble des parties localement p-négligeables de X soit
invariant par G (chap. V, § 5, no 5, th. 2), OU encore que,
pour toute partie compacte p-négligeable K de X et tout s E G,
sK soit p-négligeable (loc. cit., Remarque).
Si p est quasi-invariante, le support de p est invariant