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INTÉGRATION
chap. VII, 3
sur T(n, K)* ne peut se prolonger en une représentation continue de G dans C* (car une telle représentation est égale à 1
sur SL(n, K) d'après le lemme 5, alors que mod(z,,)l-n # 1
pour zl, bien choisi). Il en résulte que l'espace homogène
GL(n, K)/T(n, K)* n'admet aucune mesure relativement inuariante si n > 1 (8 2, no 6, th. 3).
Cet espace homogène s'identifie, pour n = 2, à la droite projective sur K. E n effet, soit (el, e,) la base canonique de KZ. Le groupe
GL(2, K) opére transitivement sur l'ensemble des droites de K a
privées de O, et le stabilisateur de Ke, - (O) est T(2, K)*.
Exemple 5. - Groupe trigonal spécial.
Reprenons les notations du début de l'exemple 4, et considérons le sous-groupe 6, = G n SL(n, K). Il est produit semidirect topologique du groupe D, = D n SL(n, K) et de Tj. Le
groupe Dl admet un sous-groupe distingué A isomorphe à
S%(n,, K), à savoir le sous-groupe composé des éléments
diag(Z,,) avec Z ,
, = 1 pour k < r. L'homomorphisme
de Dl dans GL(nl, K) x . . . x GL(n,-,, K) est surjectif e t de
noyau A. D'autre part, cp est continu. Compte tenu du lemme 2
de l'Appendice 1, Dl/A peut s'identifier B
GL(n,, K) x . . . x GL(n,-,, K).
Nous désignerons par p. la mesure de Haar sur A (cf. Exemple 6 )
et par
r-1
cr = @ ((mod det Zgk)-nk. @ dzij) 8' (dp(Zff))
k = l
i, jsIn
la mesure de Haar sur D, telle que
r-1
a / p = @ ((mod det Z,3-nk. @ dz,J
1c = 1
i, j d k
( $ 2, no 7, prop. 10). On montre alors comme dans l'Exemple 4
qu'une mesure de Haar à gauche sur G , est