no 3
APPLICATIONS ET EXEMPLES
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1) chaque Z,, est une matrice
jeIi A éléments dans
K, à n, lignes et à n, colonnes ;
2) Z,, = O pour k > 1 ;
3) Z,, E GL(nk, K) pour 1 < Ic < r.
La formule de produits par blocs
montre que G est produit semi-direct topologique du sous-groupe
D des éléments (Z,,) E G tels que Z,, = O pour k # l et du
sous-groupe TJ de l'exemple 3. De plus D est isomorphe au
produit direct des groupes GL(n,, K) pour 1 < k < r.
Soit J' l'ensemble des couples (j, i) pour (i, j) E J et soit
H l'ensemble des couples (i, j ) E (1, 11) x (1, n) n'appartenant
pas à J'. Soit Z' = ( z , ) ~ ~ , ~ , ,
l G j G , un élément de G. D'après
la prop. 14 du $ 2 , no 9 et les exemples 1 et 3 ci-dessus, on obtient
une mesure de Haar à gauche sur G en prenant l'image de la
mesure
6 ((mod det Zkk)-"k. @ di,,) 6 3 ( @ dru)
k = l
i, j s I k
(i, iFJ
par l'application
Or, considérons, pour Ic < 1, l'espace vectoriel des matrices
Z,, = ( z & ~ , ~ , ~ , .
Il est somme directe des n , sous-espaces
M, ( j E Il) formé des matrices telles que zi, = O pour Iz # j.
Chacun de ces sous-espaces Mj est. stable par l'application