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INTÉGRATION
chap. VII, 9 3
(pour Z' fixé) s'identifie a une application affine, e t son .déterminant est 1, comme on le voit en ordonnant lexicographiquement les couples (i, j ) E J et en appliquant le lemme suivant :
Lemme 6. - Soit L un ensembie fini totalement ordonné.
Pour tout h E L, soif VA un module libre de dimension finie sur
un anneau commutatif k ; pour A, p. dans L tels que h , ( p., soit
fhCI E Homk(V,, VA). Alors l'application linéaire
de
VA dans fl VA, a pour déterminant det fhh.
AeL
AsL
AEL
On se ramène aussitôt au cas où L est un intervalle d'entiers et le lemme résulte alors d'Alg., chap. III.
Si Z E T j , on voit alors qu'il existe Z' E T, tel que Z'Z = I , ,
d'où Z' = Z-l. Ainsi, TJ est un sous-groupe fermé de GL(n, K).
D'autre part, la prop. 15 du $ 1, no 10, montre que la mesure
est une mesure de Haar à gauche sur T j . En calculant ZZ', on
voit de la même façon que cette mesure est une mesure de Haar
à droite sur Tj.
On a un résultat analogue si on échange, dans la définition de Tj, le rôle des lignes et des colonnes.
Lorsque J est l'ensemble des couples (i, j) tels que i < j,
le groupe Tj s'appelle groupe frigonal strict supérieur d'ordre n
sur K et se note T,(n, K). Son transposé s'appelle groupe trigonal strict inférieur.
Exemple 4. - Groupe trigonal large.
Soient n,, . . . , n, des entiers 2 1. Posons p, = n, + . . . + n,-,
e t n = p,,, = n, + . . . + n,. Soient 1, l'ensemble des entiers j
tels que p, < j < p,,, e t J la réunion des 1, x 1, pour k c 1.
Soit G le sous-groupe fermé de GL(n, K) dont les éléments sont
les matrices (Z,,)lGk<,,
telles que :