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INTEGRATION
chap. VII, 9 3
continue de GL(n, K) dans C*. Réciproquement, soit + une
représentation continue de GL(n, K) dans C*. Pour x E K*,
posons
et ~ ( x )
= +(". Alors, pour toute matrice X E GL(n, K), on a
(det X-l)" . X E SL(n, 10. Comme SL(n, K) est le groupe des
commutateurs de GL(n, K) (Alg., chap. III, 3 e éd.), on a
$((det X-l)". X ) = 1, d'où
+(X) = +((det X)") = ~ ( d e t
X).
Ceci posé, le cor. 1 de la prop. 10 d u $ 1, no 8, prouve que
les mesures relativement invariantes sur GL(n, K) sont, à un
facteur constant près, les mesures de la forme
où x est une représentation continue de K* dans C*.
Exemple 2. - Groupe affîne.
Pour tout X E GL(n, K) et tout x E Kn, soit (X, x) l'application linéaire affine [ -XE + x dans Kn. L'ensemble des
(X, x) est le groupe affine G de Kn (Alg., chap. II, 3 e éd.,
5 9, no 4). L'ensemble T des translations est un sous-groupe
distingué ferme de G, canoniquement isomorphe à Kn ; d'autre
part, GL(n, K) est un sous-groupe fermé de G, et G est produit
serni-direct de GL(n, K) et T = Kn. On munit G de la topologie (localement compacte) pour laquelle G est produit semidirect topologique de GL(n, K) et de T (Top. gén., chap. III,
8 2, no 10). On a
(X, x) = (1, x).(X, O).
D'autre part, si X E GL(n, K) et x E T , on a, pour tout
6 E Kn,
(X, O)(l, x)(X, 0)-lE = X(X-lk + x) = E, + X x = (1, Xx)E,