no 3
APPLICATIONS ET EXEMPLES
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alors une représentation f de D sur %. D'après la prop. 4, f
se prolonge en une représentation continue g de G dans R.
Par passage aux quotients, g définit une représentation continue g' de K dans RIZ; comme RIZ est commutatif, le noyau
de g' contient le groupe des commutateurs dezK, donc,lgf,est
triviale ; autrement dit, g(G) c 2. Comme G est connexe, on
en déduit g(G) = (O), ce qui est absurde puisque f(D) = 2.
Donc r = O e t D est fini. Par suite G est compact ( T o p . Gén.,
chap. III, 3 e éd., 5 4, no 1, cor. 2 de la prop. 2).
3 . Exemples.
D a n s ce no (exception faite des exemples 7 et 8), K désignera u n corps commutatif localement compact n o n discret; d x
désignera une mesure de H a a r sur le groupe additij de K.
On rappelle que mod x = 1x1 si K = Et, mod x = 1xI2 si
K = C, mod x =
si K = Q,.
Exemple 1. - Groupe linéaire.
Soit A l'algèbre M,(K). Le groupe A* des éIdments inversibles de A n'est autre que le groupe linéaire G E ( n , K). Pour
tout X E A, la norme réduite NrdAl,(X) est det X ; par suite,
NAI,(X) = (det X)n (Alg., chap. VIII, $ 12, no 3, prop. 8).
Comme X - tX est un isomorphisme de A sur l'algèbre opposée, on a NAolg(X) = NAIK(tX) = det (tX)n = (det X)n. Alors, la
prop. 16 du $ 1, no 11 prouve que
est une mesure de Haar à gauche et à droite sur G L ( n , K).
Pour déterminer toutes les mesures relativement invariantes
sur Gni(n, K), on s'appuiera sur le lemme suivant :
L e m m e 5. - Les représentations continues de G L ( n , K) dans
C* sont les applications de la forme X - ~ ( d e t
X), où x est une
représentation continue de K* dans C*.
Une telle application est évidemment une représentation
APPLICATIONS ET EXEMPLES
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alors une représentation f de D sur %. D'après la prop. 4, f
se prolonge en une représentation continue g de G dans R.
Par passage aux quotients, g définit une représentation continue g' de K dans RIZ; comme RIZ est commutatif, le noyau
de g' contient le groupe des commutateurs dezK, donc,lgf,est
triviale ; autrement dit, g(G) c 2. Comme G est connexe, on
en déduit g(G) = (O), ce qui est absurde puisque f(D) = 2.
Donc r = O e t D est fini. Par suite G est compact ( T o p . Gén.,
chap. III, 3 e éd., 5 4, no 1, cor. 2 de la prop. 2).
3 . Exemples.
D a n s ce no (exception faite des exemples 7 et 8), K désignera u n corps commutatif localement compact n o n discret; d x
désignera une mesure de H a a r sur le groupe additij de K.
On rappelle que mod x = 1x1 si K = Et, mod x = 1xI2 si
K = C, mod x =
si K = Q,.
Exemple 1. - Groupe linéaire.
Soit A l'algèbre M,(K). Le groupe A* des éIdments inversibles de A n'est autre que le groupe linéaire G E ( n , K). Pour
tout X E A, la norme réduite NrdAl,(X) est det X ; par suite,
NAI,(X) = (det X)n (Alg., chap. VIII, $ 12, no 3, prop. 8).
Comme X - tX est un isomorphisme de A sur l'algèbre opposée, on a NAolg(X) = NAIK(tX) = det (tX)n = (det X)n. Alors, la
prop. 16 du $ 1, no 11 prouve que
est une mesure de Haar à gauche et à droite sur G L ( n , K).
Pour déterminer toutes les mesures relativement invariantes
sur Gni(n, K), on s'appuiera sur le lemme suivant :
L e m m e 5. - Les représentations continues de G L ( n , K) dans
C* sont les applications de la forme X - ~ ( d e t
X), où x est une
représentation continue de K* dans C*.
Une telle application est évidemment une représentation