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INTÉGRATION
chap. V I I , $ 3
il existe une représentation continue v de L sur R qui est triviale sur M et se réduit sur R à l'application identique. Pour
t E H y on a O((<, O)) = v ( ( L - u(<)(e, u(E))) = u(F), ce qui
achève la démonstration.
L e m m e 3. - Soit G un groupe topologique engendré par
un voisinage compact de e. Soit H u n sous-groupe fermé de G
tel que l'espace homogène G/H soit compact. Alors, H est engendré
par u n voisinage compact de e dans H .
Soit C un ensemble compact tel que G = CH. E n agrandissant C, on peut supposer que C engendre G et que G = 6 ~ .
Alors C2 est compact e t recouvert par les C S ( s E H ) qui sont
ouverts. Donc il existe s , . . s dans H tels que
C2 c G1 u . . . u Es,. Soit F le sous-groupe de II engendré
par les si. On a C2 c C r . Par récurrence, on en déduit Cn c Cr
pour tout n, donc G = C r . Tout élément de H se met sous la
forme ab avec a E C, b E r, d'où a E H , d'où a E C n H. Donc
H est engendré par C n H et les s i , c'est-à-dire par un ensemble
compact.
L e m m e 4. - Soient G u n groupe topologique connexe, D
un sous-groupe totalement disconfinu distingué de G. Alors D
est contenu dans le centre de G.
E n effet, soit d E D. L'image de G par l'application continue
x - dxd-l est un sous-ensemble connexe de D, donc se réduit
à (4, ce qui prouve que xd = d x pour tout x E G.
PROPOSITION 5. - Soit G u n groupe topologique connexe
admettant un sous-groupe distingué discret D tel que K = G/D
soit compact, et que le groupe des commutateurs de K soit dense
dans K. Alors D est fini et G est compact.
Le groupe G est localement isomorphe à K ( T o p . Gén.,
chap. I I I , 3 e éd., $ 2, no 6, prop. 19) donc localement compact ;
puisqu'il est connexe, il est engendré par un voisinage compact
de e. D'après les lemmes 3 et 4 , D est un groupe commutatif
de type fini, donc isomorphe a un groupe Zr x Dl avec Dl fini
(Alg., chap. V I I , $ 4 , no 6, th. 3). Supposons r > O. Il existe
INTÉGRATION
chap. V I I , $ 3
il existe une représentation continue v de L sur R qui est triviale sur M et se réduit sur R à l'application identique. Pour
t E H y on a O((<, O)) = v ( ( L - u(<)(e, u(E))) = u(F), ce qui
achève la démonstration.
L e m m e 3. - Soit G un groupe topologique engendré par
un voisinage compact de e. Soit H u n sous-groupe fermé de G
tel que l'espace homogène G/H soit compact. Alors, H est engendré
par u n voisinage compact de e dans H .
Soit C un ensemble compact tel que G = CH. E n agrandissant C, on peut supposer que C engendre G et que G = 6 ~ .
Alors C2 est compact e t recouvert par les C S ( s E H ) qui sont
ouverts. Donc il existe s , . . s dans H tels que
C2 c G1 u . . . u Es,. Soit F le sous-groupe de II engendré
par les si. On a C2 c C r . Par récurrence, on en déduit Cn c Cr
pour tout n, donc G = C r . Tout élément de H se met sous la
forme ab avec a E C, b E r, d'où a E H , d'où a E C n H. Donc
H est engendré par C n H et les s i , c'est-à-dire par un ensemble
compact.
L e m m e 4. - Soient G u n groupe topologique connexe, D
un sous-groupe totalement disconfinu distingué de G. Alors D
est contenu dans le centre de G.
E n effet, soit d E D. L'image de G par l'application continue
x - dxd-l est un sous-ensemble connexe de D, donc se réduit
à (4, ce qui prouve que xd = d x pour tout x E G.
PROPOSITION 5. - Soit G u n groupe topologique connexe
admettant un sous-groupe distingué discret D tel que K = G/D
soit compact, et que le groupe des commutateurs de K soit dense
dans K. Alors D est fini et G est compact.
Le groupe G est localement isomorphe à K ( T o p . Gén.,
chap. I I I , 3 e éd., $ 2, no 6, prop. 19) donc localement compact ;
puisqu'il est connexe, il est engendré par un voisinage compact
de e. D'après les lemmes 3 et 4 , D est un groupe commutatif
de type fini, donc isomorphe a un groupe Zr x Dl avec Dl fini
(Alg., chap. V I I , $ 4 , no 6, th. 3). Supposons r > O. Il existe