no 2
APPLICATIONS ET EXEMPLES
est continue e t fait de H un espace homogène pour G, dans
lequel le stabilisateur de l'origine est L. Remarquons en outre
que lorsqu'on identifie H à Rn, +, est une application affine
de H dans lui-même. Ceci posé, soit M un sous-groupe compact
de G ; en vertu du lemme 2, il existe un x E H tel que +,(x) = x
pour tout m E M . Pour y E H, +, est la translation de vecteur y ;
on en déduit que pour tout m E M, + , - 1 O + , O +, transforme
l'origine de H en elle-même, donc x-lms E L. Ceci prouve que
x-lMx c L, d'où b).
Soit L' un sous-groupe fermé de G contenant L. Alors 1 ,
'
est produit semi-direct topologique de L et de L' n H. Si L'
est compact, L' n H est compact, donc se réduit à un point
( T o p . gén., chap. VII, § 1, no 2, cor. 1 du th. 2), donc L' = L.
Ceci prouve que L est un sous-groupe compact maximal de
G ; il en est donc de même des sous-groupes transformés de
L par les automorphismes intérieurs de G. Les assertions c)
et d) de la prop. 3 sont alors des conséquences immédiates de b).
PROPOSITION 4. - Soient G u n groupe localement compact
et H u n sous-groupe distingué fermé de G tel que K = G/H
'soit compact. Alors toute représenfation continue u de H dans R,
telle que u(s
Soient L = G x R, e t M l'ensemble des (<, - ~ ( 6 ) )
où 5
parcourt H. Il est clair que M est un sous-groupe distingué
fermé de L. Soient L' = L/M et x l'application canonique de
L sur L'. Le sous-groupe de L engendré par M et R est H x R,
donc est fermé ; donc n(R) est un sous-groupe fermé N de L'.
La restriction p de x à R est une représentation continue bijective de R sur N. Le lemme 2 de l'Appendice 1 prouve que p
est bicontinue. Par ailleurs, L'IN est isomorphe à
donc est compact. D'après la prop. 3, et compte tenu du fait
que N est dans le centre de L', L' est le produit de N et d'un
autre sous-groupe. Il existe donc une représentation continue
de L' sur N qui se réduit sur N à l'application identique. Donc
APPLICATIONS ET EXEMPLES
est continue e t fait de H un espace homogène pour G, dans
lequel le stabilisateur de l'origine est L. Remarquons en outre
que lorsqu'on identifie H à Rn, +, est une application affine
de H dans lui-même. Ceci posé, soit M un sous-groupe compact
de G ; en vertu du lemme 2, il existe un x E H tel que +,(x) = x
pour tout m E M . Pour y E H, +, est la translation de vecteur y ;
on en déduit que pour tout m E M, + , - 1 O + , O +, transforme
l'origine de H en elle-même, donc x-lms E L. Ceci prouve que
x-lMx c L, d'où b).
Soit L' un sous-groupe fermé de G contenant L. Alors 1 ,
'
est produit semi-direct topologique de L et de L' n H. Si L'
est compact, L' n H est compact, donc se réduit à un point
( T o p . gén., chap. VII, § 1, no 2, cor. 1 du th. 2), donc L' = L.
Ceci prouve que L est un sous-groupe compact maximal de
G ; il en est donc de même des sous-groupes transformés de
L par les automorphismes intérieurs de G. Les assertions c)
et d) de la prop. 3 sont alors des conséquences immédiates de b).
PROPOSITION 4. - Soient G u n groupe localement compact
et H u n sous-groupe distingué fermé de G tel que K = G/H
'soit compact. Alors toute représenfation continue u de H dans R,
telle que u(s
Soient L = G x R, e t M l'ensemble des (<, - ~ ( 6 ) )
où 5
parcourt H. Il est clair que M est un sous-groupe distingué
fermé de L. Soient L' = L/M et x l'application canonique de
L sur L'. Le sous-groupe de L engendré par M et R est H x R,
donc est fermé ; donc n(R) est un sous-groupe fermé N de L'.
La restriction p de x à R est une représentation continue bijective de R sur N. Le lemme 2 de l'Appendice 1 prouve que p
est bicontinue. Par ailleurs, L'IN est isomorphe à
donc est compact. D'après la prop. 3, et compte tenu du fait
que N est dans le centre de L', L' est le produit de N et d'un
autre sous-groupe. Il existe donc une représentation continue
de L' sur N qui se réduit sur N à l'application identique. Donc