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INTÉGRATION
chap. VII, 8 3
D'autre part, quels que soient x, y, z dans G, on a
donc, quels que soient x', y1,z' dans K, on a
- Cp(xl, y') = cp(zl, x'y') - y'-icp(z', x') - Cp(z' x' , y').
Intégrons par rapport à z' au moyen de la mesure de Haar
normalisée a de K. Si on pose +(XI)
= cp(zl, x')da(zl), + est
S
une fonction continue sur K, et on obtient (en observant que
les opérations de K dans Re respectent la structure d'espace
vectoriel de Rn d'après Top. gén., chap. VII, $ 2, no 1, prop. 1)
- cp(xl, y') = +(x'yl) - y'-l+(xl) - +(y1).
Autrement dit, en posant k = + O x, qui est une fonction continue dans G,
Comparant (1) et (2), on voit que, si on remplace f par Ia
fonction continue f + k, (ce qui laisse vérifiée la propriété
f(xh) = f(x) + h), on remplace F par 0, et, comme on l'a vu
plus haut, ceci achève la démonstration de a).
Pour tout g E Gy soit 1, (resp. hg) l'unique élément de L
(resp. H) tel que g = hglg. Si h, E H et g E G, on a
gh, = h,l,hl = hq(lgh,lg3)lg
donc hg = hg,, + l,h,lgl. Pour tout g E Gy soit +, l'application
de H dans lui-même définie par
On voit que l'application (g, h,) -+,(hl) de G x H dans H