no 2
APPLICATIONS ET EXEMPLES
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a) Il existe un sous-groupe fermé L de G tel que G soit produit semi-direct topologique de L et de H .
b) Si M est un sous-groupe compact de G, il existe un dément x E H tel que x-lMx c L.
c) Tout sous-groupe compact de G est contenu dans un sousgroupe compact maximal.
d) Les sous-groupes compacts maximaux de G sonf les sousgroupes transformés de L par les alrtomorphismes intérieurs de G.
Soit TC l'homomorphisme canonique de G sur K = G/H. Par
passage au quotient, l'application (s, h) -shs-l de G x H dans H
définit une application continue (o, h) - o.h de K x H dans H
telle que shs-1 = x(s). h. Nous identifierons H a Rn (et emploierons donc, suivant le cas, la notation multiplicative ou additive pour la loi de groupe dans H). D'après le cor. de la prop. 2,
il existe une application continue f de G dans H telle que
f(xh) = f(x) + h pour x E G, h E H . Pour tout x E G, soit
p(x) = x. (- J(x)) qui ne dépend que de la classe de x suivant
H. Posons
On voit que, si F(x, y) = O quels que soient x, y dans G, p(G) = L
est un sous-groupe de G qui rencontre toute classe suivant H
en un point e t un seul. Comme p est continu, G est alors produit semi-direct topologique de L et de H (Top. gén., chap. III,
3" éd., $ 2, no 10).
Or, quels que soient h, hr E H , on a
Donc F définit par passage aux quotients une application continue