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INTÉGRATION
chap. VII, $ 3
Ce point est indépendant d u choix de a. E n effet, soient a' E E
2 ' - a = (x' - a') + (a' - a) = (f(t) - a1)dP(t)
1,
+J (a' - a)dp(t) =J (f(t) - a)dp(t) = x - a
T
T
d'où x' - x. O n pourra donc utiliser le symbole JT f(t)dp(t) sans
préciser le choix de l'origine dans E. Si u est une application
affine de E dans un autre espace affine E' de dimension finie,
on a
En effet, on peut identifier E et E' a des espaces vectoriels de
telle sorte que u devienne une application linéaire, et la formule est alors connue (chap. III, $ 4, no 2, prop. 4).
Lemme 2. - Soient G u n groupe compact, p la mesure de
Haar normalisée de G, E u n espace affine de dimension finie,
A le groupe afine de E, p u n homomorphisme de G dans A.
O n suppose que, pour tout x E E, l'application s - p(s)x de G
dans E est confinue. Alors, pour tout x E E, le point
est invariant par G.
En effet, pour tout t E G, on a
PROPOSITION 3. - Soit G u n groupe localement compact.
Soit H u n sous-groupe distingué fermé de G, isomorphe a Rn
et tel que G/H soit compact.