no 2
APPLICATIONS ET EXEMPLES
7 3
On se ramène aussitôt au cas où n = 1. Comme le groupe
additif R est isomorphe au groupe multiplicatif RF, la proposition est alors conséquence immédiate de la prop. 7 du 5 2,
no 4.
COROLLAIRE. - Soit X u n espace localement compact dans
lequel u n espace vectoriel réel V de dimension finie opère a droite,
continûment et proprement, par (x, v ) - xv. Soit x l'application
canonique de X sur B = X/V. Supposons B paracompact.
a) II existe une application continue f de X dans V telle
que f(xu) = f(x) + v quels que soient x E X et v E V .
b) S i f est une application vérifiant les conditions de a),
L'application x - (x(x), f(x)) est un homéomorphisme de X sur
B x V .
L'assertion a) résulte de la prop. 2 dans laquelle on prend
pour g l'application identique de V. Soit f une application vérifiant les conditions de a). L'application x - x.(- f(x)) de X
dans X est continue et constante sur chaque orbite, donc de
la forme cp O x, où cp est une application continue de B dans
X ; pour tout b E B, on a x(cp(b)) = b. Les applications
x + ( ( x ) , ( x ) ) de X dans B x V et ( b , u) - cp(b). u de
B x V dans X sont réciproques l'une de l'autre, car
d + 4 ) . f ( x ) = x 4 - f(x)).(f(x)) = x, rr(cp(b).u) = x(cp(b)) = b,
et, si b = ~(Y)¶f(cp(x(Y)).v) = f(Y 4- /(Y)) 0) = /(Y) - /(Y) + = 0.
Comme ces applications sont continues, ce sont des homéomorphismes.
Remarque. - Soient E un espace affine réel de dimension
finie, T un espace compact, p. une mesure de masse totale 1 sur
T, f une application continue de T dans E. Si on choisit une
origine a dans E, E se trouve muni d'une structure d'espace
vectoriel, et l'intégrale
f(t)dp(t) a donc un sens ; elle repréST
sente le point x de E tel que
APPLICATIONS ET EXEMPLES
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On se ramène aussitôt au cas où n = 1. Comme le groupe
additif R est isomorphe au groupe multiplicatif RF, la proposition est alors conséquence immédiate de la prop. 7 du 5 2,
no 4.
COROLLAIRE. - Soit X u n espace localement compact dans
lequel u n espace vectoriel réel V de dimension finie opère a droite,
continûment et proprement, par (x, v ) - xv. Soit x l'application
canonique de X sur B = X/V. Supposons B paracompact.
a) II existe une application continue f de X dans V telle
que f(xu) = f(x) + v quels que soient x E X et v E V .
b) S i f est une application vérifiant les conditions de a),
L'application x - (x(x), f(x)) est un homéomorphisme de X sur
B x V .
L'assertion a) résulte de la prop. 2 dans laquelle on prend
pour g l'application identique de V. Soit f une application vérifiant les conditions de a). L'application x - x.(- f(x)) de X
dans X est continue et constante sur chaque orbite, donc de
la forme cp O x, où cp est une application continue de B dans
X ; pour tout b E B, on a x(cp(b)) = b. Les applications
x + ( ( x ) , ( x ) ) de X dans B x V et ( b , u) - cp(b). u de
B x V dans X sont réciproques l'une de l'autre, car
d + 4 ) . f ( x ) = x 4 - f(x)).(f(x)) = x, rr(cp(b).u) = x(cp(b)) = b,
et, si b = ~(Y)¶f(cp(x(Y)).v) = f(Y 4- /(Y)) 0) = /(Y) - /(Y) + = 0.
Comme ces applications sont continues, ce sont des homéomorphismes.
Remarque. - Soient E un espace affine réel de dimension
finie, T un espace compact, p. une mesure de masse totale 1 sur
T, f une application continue de T dans E. Si on choisit une
origine a dans E, E se trouve muni d'une structure d'espace
vectoriel, et l'intégrale
f(t)dp(t) a donc un sens ; elle repréST
sente le point x de E tel que