72
INTÉGRATION
chap. VII, 8 3
d'où les inégalités
ce qui montre que cp est positive non dégénérée et que la norme
cp(x, x)lI2 est équivalente à la norme Ilxll. Enfin, pour tout t E K,
on a
Lorsque le corps des scalaires est H, on raisonne exactement de
même, en remplaçant partout la fonction s - (U(s)xl U(s)y) par
la fonction s - @(sx, y) définie dans G, à valeurs dans H. Ce qui
achève la démonstration du lemme.
Remarque. - Soit @ une forme hermitienne positive non
dégénérée sur E. Le groupe unitaire U(@) est fermé dans Aut(E),
donc compact (prop. 1). La prop. 1 montre aussi que tout
sous-groupe compact de Aut(E) est contenu dans un sousgroupe de la forme U(@). Si maintenant U(@) est contenu dans
un sous-groupe compact K de Aut(E), on voit qu'il existe une
forme hermitienne positive non dégénérée @' sur E telle que
U(@) c K c U(@') et il en résulte facilement (exerc. 1) que @
et @' sont proportionnelles, d'où U(@) = K. Ainsi les sousgroupes compacts maximaux de Aut(E) sont les sous-groupes
de la forme U(@).
2. Trivialité d'espaces fibrés et d'extensions de groupes.
PROPOSITION 2. - Soit X un espace localement compact
dans lequel un groupe localement compact H opère à droite, continûment et proprement, par (x, 6) -XE. Supposons X/H paracompact. Soit g une représentation continue de H dans Rn. 11
existe alors une application continue f de X dans Rn telle que
f(x6) = f(x) : ) g(6) quels que soient x E X et E H.