no 1
APPLICATIONS ET EXEMPLES
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(iii) G laisse invariante une forme hermitienne positive non dégénérée sur E.
(iii) * (i) : supposons que G laisse invariante une forme
hermitienne positive non dégénérée Y. Soit (el, . . . , en) une base
orthonormale pour Y (Alg., chap. IX, $ 6, no 1, cor. 1 du th. 1).
Pour tout u E G, soit (u,,) sa matrice par rapport 21 (e,). Quel
n
que soit j, on a
lui,/ = 1, donc lui,l 4 1 quels que soient
i-1
i et j, ce qui prouve (i).
(i) - (ii) : ceci résulte de Top. Gén., chap. X, 2 e éd., $ 4,
cor. du th. 4, compte tenu du fait que la topologie de End(E)
est celle de la convergence compacte.
(ii) =. (iii) : supposons que l'adhérence G de G dans Aut(E)
soit compacte. Soit 0 une forme hermitienne positive non
dégénérée sur E. Si le corps des scalaires est R ou @, la donnée
de CD fait de E un espace hilbertien de dimension finie, e t ' la
condition (iii) résultera du lemme suivant :
Lemme 1. - Soient F un espace hilbertien, K un groupe
compact, et s - U(s) une représentation de K dans le groupe des
éléments inversibles de 9 ( F ; F), continue pour la topologie de
la convergence simple. Il existe une forme hermitienne positive
non dégénérée cp sur F telle que cp(U(s)x, U(s)y) = cp(x, y) quels
que soient s E K, x E F, y E F, et telle que la structure d'espace
vectoriel topologique de F définie par cp (Esp. vect. top., chap. V,
$ 1, no 3) soit identique a la structure initiale de F.
Soit a une mesure de Haar sur K. Quels que soient x,
y dans F, l'application s - (U(s)xl U(s)y) est continue. Posons
Il est immédiat que cp(x, y) est une forme sesquilinéaire sur F.
Comme l'ensemble des endomorphismes U(s) est compact dans
Z I ( F ; F), il existe une constante M telle que llU(s)ll < M pour
tout s E K. Pour tout x E F, on a donc
APPLICATIONS ET EXEMPLES
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(iii) G laisse invariante une forme hermitienne positive non dégénérée sur E.
(iii) * (i) : supposons que G laisse invariante une forme
hermitienne positive non dégénérée Y. Soit (el, . . . , en) une base
orthonormale pour Y (Alg., chap. IX, $ 6, no 1, cor. 1 du th. 1).
Pour tout u E G, soit (u,,) sa matrice par rapport 21 (e,). Quel
n
que soit j, on a
lui,/ = 1, donc lui,l 4 1 quels que soient
i-1
i et j, ce qui prouve (i).
(i) - (ii) : ceci résulte de Top. Gén., chap. X, 2 e éd., $ 4,
cor. du th. 4, compte tenu du fait que la topologie de End(E)
est celle de la convergence compacte.
(ii) =. (iii) : supposons que l'adhérence G de G dans Aut(E)
soit compacte. Soit 0 une forme hermitienne positive non
dégénérée sur E. Si le corps des scalaires est R ou @, la donnée
de CD fait de E un espace hilbertien de dimension finie, e t ' la
condition (iii) résultera du lemme suivant :
Lemme 1. - Soient F un espace hilbertien, K un groupe
compact, et s - U(s) une représentation de K dans le groupe des
éléments inversibles de 9 ( F ; F), continue pour la topologie de
la convergence simple. Il existe une forme hermitienne positive
non dégénérée cp sur F telle que cp(U(s)x, U(s)y) = cp(x, y) quels
que soient s E K, x E F, y E F, et telle que la structure d'espace
vectoriel topologique de F définie par cp (Esp. vect. top., chap. V,
$ 1, no 3) soit identique a la structure initiale de F.
Soit a une mesure de Haar sur K. Quels que soient x,
y dans F, l'application s - (U(s)xl U(s)y) est continue. Posons
Il est immédiat que cp(x, y) est une forme sesquilinéaire sur F.
Comme l'ensemble des endomorphismes U(s) est compact dans
Z I ( F ; F), il existe une constante M telle que llU(s)ll < M pour
tout s E K. Pour tout x E F, on a donc