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INTÉGRATION
chap. VII, $ 3
Soit u une fonction sur X , à valeurs dans un espace de Banach
ou dans R, invariante par H . O n suppose que u est p-intégrable
dans F. Alors, u est pintégrable dans Fr, et
Comme ra et n sont invariantes par H, il existe une fonction v sur X/H telle que v O n coïncide avec nu sur F et sur F'.
Alors n-lcp,(v O x) = cp,~, n-ly,.(v O n) = Pour l'existence d e domaines fondamentaux p-mesurables, cf.
exerc. 13.
E j 3. Applications et exemples.
1. Groupes compacts d'applications linéaires.
Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur R, C
ou H. Alors End@) est une algèbre de dimension finie sur R,
et la topologie canonique sur End(E) ( $ 1, no 10) est la topologie
de la convergence compacte. Le groupe Aut(E) = GL(E) est
une partie ouverte de End(E), donc est un groupe localement
compact. Soit (el, e,, . . ., e,) une base de E, et pour tout endomorphisme u de E, soit M(u) = (ccii(u)) la matrice de u par
rapport à cette base ; dire qu'une partie S de End(E) est relativement compacte dans End(E) équivaut à dire que les fonctions PROPOSITION 1. - Soit G un sous-groupe de Aut(E). Les
trois propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) G est relativement compact dans End(E) ;
(ii) G est relativement compact dans Aut(E) ;