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INTÉGRATION
chap. V I I , 5 2
x, E X ; l'ensemble des s E H tels que sx, E K i est fini (loc. cit.,
no 5, th. l), d'où notre assertion.
DÉFINITION 2. - Soit F c X . On dit que F est un domaine
fondamental (pour H ) si la restriction de x à F est une bijection
de F sur X/H (autrement dit si F est un système de représentants
pour la relation d'équivalence définie par H).
Lemme 8. - Soit F un domaine fondamental. Pour tout
x E X , on a
Comme cpFs(xt) = ( P ~ ~ ~ - ~ ( x )
quels que soient s et t dans H,
les deux membres de (24) restent invariants quand on remplace
x par xi. On peut donc supposer que n: E F. Alors on a les équivalences
PROPOSITION 15. - On suppose X dénombrable à l'infini.
Soit p. une mesure 2 O sur X . Soit F un domaine fondamental
tel que Fs soit p-mesurable pour tout s E H . Soit f une fonction
pintégrable sur X , à valeurs dans un espace de Banach ou dans
-R. Alors la famille des [ n ( ~ ) - ~ f ( x ) d p ( z )
(s ~H)eslsommable.
et l'on a
Si A est une partie finie de H, on a
d'après le lemme 8. Le lemme 8 prouve aussi que C n-lfcp,,
seA
converge simplement vers f suivant l'ensemble filtrant croissant