b) On a, pour x E X et y E Y,
en désignanf par i, Z'aufomorphisme u - x-lux de Y.
On a AG = Ay sur Y (prop. 10 b)), donc a) résulte de (23).
Soient xo E X, y. E Y. Notons p l'application (x, y) - xy de
X x Y sur Q. Comme
d'où b).
Remarque. - La prop. 14 s'applique en particulier quand CI
est produit semi-direct topologique de X par Y (Top. Gén.,
chap. III, 3e éd., $ 2, no 10). Dans ce cas, Z = (e) et ! 2 = Cr.
Comme yx = xi,(y) pour x E X, y E Y, pG est aussi, à un fncteur constant près, l'image de (rnod iJpX @ py par l'application (x, y) - yx de X x Y dans G.
10. Intégration dans un domaine fondamental.
Soient X un espace localement compact, IF1 un groupe
discret opérant a droite continûment et proprement dans X.
Soit x l'application canonique de X sur X/H. Pour tout x E X,
on notera H, le stabilisateur de x dans H ; c'est un sous-groupe
fini de H (Top. gén., chap. III, 3e éd., $ 4, no 2, prop. 4) ; on
notera n(x) son ordre. Pour tout s E H, on a H,, = s - ~ I S , ~ ,
donc n(xs) = n(x). II existe un voisinage ouvert U de x tel que
U n Us = @ pour s $ H, (loc. eit., no 4, démonstration de la
prop. 8) ; pour y E U, on a H, c H, ; donc la fonction n sur X
est semi-continue supérieurement. Lorsque X est dénombrable
à l'infini, H est dénombrable; en effet, soit (KI, K,, . . .) un
recouvremenL dc X par unc suilc dc parties compactes, et soit
en désignanf par i, Z'aufomorphisme u - x-lux de Y.
On a AG = Ay sur Y (prop. 10 b)), donc a) résulte de (23).
Soient xo E X, y. E Y. Notons p l'application (x, y) - xy de
X x Y sur Q. Comme
d'où b).
Remarque. - La prop. 14 s'applique en particulier quand CI
est produit semi-direct topologique de X par Y (Top. Gén.,
chap. III, 3e éd., $ 2, no 10). Dans ce cas, Z = (e) et ! 2 = Cr.
Comme yx = xi,(y) pour x E X, y E Y, pG est aussi, à un fncteur constant près, l'image de (rnod iJpX @ py par l'application (x, y) - yx de X x Y dans G.
10. Intégration dans un domaine fondamental.
Soient X un espace localement compact, IF1 un groupe
discret opérant a droite continûment et proprement dans X.
Soit x l'application canonique de X sur X/H. Pour tout x E X,
on notera H, le stabilisateur de x dans H ; c'est un sous-groupe
fini de H (Top. gén., chap. III, 3e éd., $ 4, no 2, prop. 4) ; on
notera n(x) son ordre. Pour tout s E H, on a H,, = s - ~ I S , ~ ,
donc n(xs) = n(x). II existe un voisinage ouvert U de x tel que
U n Us = @ pour s $ H, (loc. eit., no 4, démonstration de la
prop. 8) ; pour y E U, on a H, c H, ; donc la fonction n sur X
est semi-continue supérieurement. Lorsque X est dénombrable
à l'infini, H est dénombrable; en effet, soit (KI, K,, . . .) un
recouvremenL dc X par unc suilc dc parties compactes, et soit