66
INTÉGRATION
chap. VII, 3 2
morphisme. (Il en est ainsi notamment si G est dénombrable à
l'infini : cf. App. 1).
PROPOSITION 13. - Supposons en outre Z compact. Soient
p,, px , py des mesures de Haar à gauche sur Gy X , Y , el A la restriction de AG à Y . Alors la restriction p de pG à Cl est, à u n
facteur constant près, l'image de px @ (A-l. p
,
) par l'application
(x, y) - xy-l de X x Y sur Cl (application qui est propre).
Pourx E X , y E Y , on a
Identifiant B à l'espace homogène (X x Y ) / Z , et choisissant
une mesure de Haar convenable sur Z,, on voit que p# est le
produit de la mesure de Haar a gauche de X x Y, à savoir
px @ py , par la fonction (x, y) - A,(y)-l (no 6 , lemme 6). D'autre
part, p est, à un facteur constant près, l'image de p# par I'application canonique de X x Y sur i2 (no 3, Remarque 2).
COROLLAIRE. - Soit f une fonction définie dans 52, a ualeurs
dans u n espace de Banach ou dans S. Pour que f soit p-intégrable,
il faut et il suffit que la fonction (x, y) - f(xy)AG(y)AY(')-l soit
( p . , @ py)-intégrable ; on a alors
où a est une constante > O indépendante de f.
D'après la prop. 13, et le chap. V, 3 4, no 4, th. 2, pour que
f soit p-intégrable, il faut et il sufit que la fonction (x, y) - f(xy-1)
soit intégrable pour p , @ (11-1. p ,
) ,
ou encore que la fonction
(x, y) - f ( ~ ~ ~ - l ) A ~ ( y ) - l
soit intégrable pour px 8 py , OU encore
que la fonction (x, y) ->f(xy)A,(y)A,(y)-l soit intégrable pour
px @ p y . La formule (23) résulte d'un raisonnement analogue.
PROPOSITION 14. - Supposons que les conditions de la
prop. 13 soient remplies et en outre que Y soit distingué.
a) L a restriction de pG à 1(1 est, a u n facteur constant près,
l'image de p, 8 py par l'application (x, y) -+ xy de X x Y sur Cl.