a) L'image canonique de cc dans G/A est une mesure positive
non nulle, invariante par G, et bornée.
b) A, coi'ncide avec A, sur A et avec A, sur B.
c) I l existe, sur l'espace homogène A/B des classes à gauche
de A suivant B, une mesure positive non nulle invariante par A
et bornée.
L'assertion a) est immédiate. 1,'assertion b) résulte de a)
et du no 6, cor. 2 du th. 3. D'après b), A, coïncide avec AB
sur B, et on peut donc appliquer les résultats du présent numéro
en y faisant X = G, H = A, H' = B. La fonction 1 sur G/B
est a-intégrable. D'après le a) du cor. 1, la fonction 1 sur A/B
est intégrable pour P/Pf, P et p' désignant des mesures de
Haar A gauche de A et B ; donc P/B' est bornée.
9. Construction de la mesure de Haar d'un groupe à partir
des mesures de Haar de certains sous-groupes.
Soient G un groupe localement compact, X et Y deux
sous-groupes fermés de G tels que Q = X Y contienne un voisinage U de e. Alors Cl est ouvert dans G ; car, quels que soient
x, E X et y, E Y, on a X Y = (xoX)(Yyo) 2 x,Uy,, et x,Uy, est
un voisinage de x,y,; donc Cl est un voisinage de chacun de
ses points.
*Lorsque G est un groupe de Lie d'algébre de Lie g, la condition imposée à X et Y est satisfaite si les sous-algbbres correspondant à X et Y ont pour somme g. *
Le groupe X x Y opère continûment à gauche dans G
par la loi (x, y). s = xsy-1 (x E X, y E Y, s E G). Soit Z = X n Y.
Le stabilisateur de e dans X x Y est le sous-groupe Z, de
X x Y formé des couples (z, z), où z E Z, sous-groupe qui est
canoniquement isomorphe à Z. Donc l'ensemble IR s'identifie
A l'espace homogène des classes à gauche ( X x Y)/Z,; plus
précisément, l'application (x, y) - xy-l de X x Y sur Cl définit
par passage au quotient une bijection continue de (X x Y)/Z,
sur Q. Nous supposerons que cette application est un homéoBOURBAKI, XXIX
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non nulle, invariante par G, et bornée.
b) A, coi'ncide avec A, sur A et avec A, sur B.
c) I l existe, sur l'espace homogène A/B des classes à gauche
de A suivant B, une mesure positive non nulle invariante par A
et bornée.
L'assertion a) est immédiate. 1,'assertion b) résulte de a)
et du no 6, cor. 2 du th. 3. D'après b), A, coïncide avec AB
sur B, et on peut donc appliquer les résultats du présent numéro
en y faisant X = G, H = A, H' = B. La fonction 1 sur G/B
est a-intégrable. D'après le a) du cor. 1, la fonction 1 sur A/B
est intégrable pour P/Pf, P et p' désignant des mesures de
Haar A gauche de A et B ; donc P/B' est bornée.
9. Construction de la mesure de Haar d'un groupe à partir
des mesures de Haar de certains sous-groupes.
Soient G un groupe localement compact, X et Y deux
sous-groupes fermés de G tels que Q = X Y contienne un voisinage U de e. Alors Cl est ouvert dans G ; car, quels que soient
x, E X et y, E Y, on a X Y = (xoX)(Yyo) 2 x,Uy,, et x,Uy, est
un voisinage de x,y,; donc Cl est un voisinage de chacun de
ses points.
*Lorsque G est un groupe de Lie d'algébre de Lie g, la condition imposée à X et Y est satisfaite si les sous-algbbres correspondant à X et Y ont pour somme g. *
Le groupe X x Y opère continûment à gauche dans G
par la loi (x, y). s = xsy-1 (x E X, y E Y, s E G). Soit Z = X n Y.
Le stabilisateur de e dans X x Y est le sous-groupe Z, de
X x Y formé des couples (z, z), où z E Z, sous-groupe qui est
canoniquement isomorphe à Z. Donc l'ensemble IR s'identifie
A l'espace homogène des classes à gauche ( X x Y)/Z,; plus
précisément, l'application (x, y) - xy-l de X x Y sur Cl définit
par passage au quotient une bijection continue de (X x Y)/Z,
sur Q. Nous supposerons que cette application est un homéoBOURBAKI, XXIX
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