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INTÉGRATION
chap. V I I , 5 2
Donc
ce qui prouve la proposition.
COROLLAIRE 1. - a ) Soit f une fonction sur X I H ' , à valeurs
dans u n espace de Banach ou dans R, intégrable pour plPr. I l
existe une partie (p/P)-négligeable N de X / H ayant la propriété
suivante : si x E X est tel que X ( X ) 4 N , la fonction f O o, sur
H/H1, c'est-à-dire la foncfion 5 - f ( x l ( x [ ) ) , est intégrable pour
PIP' ; l'intégrale
f (n'(xS))d(P/P1)([) ne dépend que de 5 = ~ ( x ) ,
d est u n e fonction (p./p)-intégrable de x; ef l'on a
b) Soit f une foncfion 3 O sur X I H ' , mesurable pour pl@'
et nulle hors d'une réunion dénombrable d'ensembles (plPt)-inté*
grabks. Alors ~ ( z )
f (rr1(s4))d(~/p')(5) est (p/p)-mesorable,
et l'on a
c) Soit f une fonction sur X / H 1 à valeurs dans u n espace
de Banach ou dans R, mesurable pour pIP' et nulle hors d'une
réunion dénombrable d'ensembles (p/P1)-intégra bles. A lors, pour
que f soit (pl@')-intégrable, il suffit que
COROLLAIRE 2. - Soient G un groupe localement compact,
A et B des sous-groupes fermés de G tels que A 3 B . On suppose
qu'il existe, sur l'espace homogéne G / B des classes à gauche suivant B, une mesure positive n o n nulle cr invariante par G et bornde.