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INTÉGRATION
chap. VII, $ 2
déduite par passage au quotient de l'application (J, : - X E
de H dans X . Notons que
= (J, O yH(E), donc que
w , ~ = G), O yHIH*(6) pour tout 6 E H .
Lemme 7. - Soient K une partie compacte de X / H 1 , et L
une partie compacte de X . Alors U o i l ( K ) est relatiuement
ZEL
compact dans H / H 1 .
Soit K, une partie compacte de X telle que x f ( K 1 ) = K.
Soit K, l'ensemble des 5 E H tels que L( rencontre K,. Alors
K, est compact (Top. Gén., chap. III, 3e éd., § 4, no 5, th. 1).
Soit 6 E H tel que p(5) E U w;l(K). Il existe donc un
XEL
x E L tel que w,(p([)) E K , autrement dit tel que xf(xE) E K.
Puisque x 1 ( K 1 ) = K , il existe <' E H' tel que xEFf E K I . Alors
Et ' E K z , donc p(F) = p(5E1) € p ( K , ) . On a ainsi montré que
U w;'(K) c p ( K 3 .
ZEL
Ce lemme montre d'abord que l'application w, est propre.
On peut donc former la mesure wx(P/Pf) sur X / H ' , qui est concentrée sur o X ( H / H 1 )
= xl(+,(H)) = xl(xH). Si f E Z ( X / M f ) , le
lemme 7, et le 5 1, no 1, lemme 1 montrent que la fonction
x - ( f , w,(P/P1)) est continue dans X ; en outre, ( f , cù,(P/P1))
est nul quand Supp f ne rencontre pas x l ( x H ) , autrement dit
quand x ( x ) n'appartient pas à l'image canonique de Supp f
dans X / H .
Par ailleurs, si E, E H , on a
L'application x - w,(P/P1) de X dans A ( X / H 1 ) définit donc par
passage a u quotient une application u - (P/P1), de X / H dans
A ( X / H 1 ) . Ce qui précède montre que, pour toute f E % ( X / H t ) ,
l'application u - (f, (P/Pf),) est continue à support compact.
Par suite, l'application u - (P/Pf), est une famille vaguement
continue et (p/P)-adéquate de mesures sur X / H 1 , l'ensemble
d'indices étant X/H.
INTÉGRATION
chap. VII, $ 2
déduite par passage au quotient de l'application (J, : - X E
de H dans X . Notons que
= (J, O yH(E), donc que
w , ~ = G), O yHIH*(6) pour tout 6 E H .
Lemme 7. - Soient K une partie compacte de X / H 1 , et L
une partie compacte de X . Alors U o i l ( K ) est relatiuement
ZEL
compact dans H / H 1 .
Soit K, une partie compacte de X telle que x f ( K 1 ) = K.
Soit K, l'ensemble des 5 E H tels que L( rencontre K,. Alors
K, est compact (Top. Gén., chap. III, 3e éd., § 4, no 5, th. 1).
Soit 6 E H tel que p(5) E U w;l(K). Il existe donc un
XEL
x E L tel que w,(p([)) E K , autrement dit tel que xf(xE) E K.
Puisque x 1 ( K 1 ) = K , il existe <' E H' tel que xEFf E K I . Alors
Et ' E K z , donc p(F) = p(5E1) € p ( K , ) . On a ainsi montré que
U w;'(K) c p ( K 3 .
ZEL
Ce lemme montre d'abord que l'application w, est propre.
On peut donc former la mesure wx(P/Pf) sur X / H ' , qui est concentrée sur o X ( H / H 1 )
= xl(+,(H)) = xl(xH). Si f E Z ( X / M f ) , le
lemme 7, et le 5 1, no 1, lemme 1 montrent que la fonction
x - ( f , w,(P/P1)) est continue dans X ; en outre, ( f , cù,(P/P1))
est nul quand Supp f ne rencontre pas x l ( x H ) , autrement dit
quand x ( x ) n'appartient pas à l'image canonique de Supp f
dans X / H .
Par ailleurs, si E, E H , on a
L'application x - w,(P/P1) de X dans A ( X / H 1 ) définit donc par
passage a u quotient une application u - (P/P1), de X / H dans
A ( X / H 1 ) . Ce qui précède montre que, pour toute f E % ( X / H t ) ,
l'application u - (f, (P/Pf),) est continue à support compact.
Par suite, l'application u - (P/Pf), est une famille vaguement
continue et (p/P)-adéquate de mesures sur X / H 1 , l'ensemble
d'indices étant X/H.