COROLLAIRE. - Pour tout x E G, on a
en désignant par x l'image canonique de x dans G/G1 et pur i,
Z'automorphisme s - x-lsx de G'.
Ceci résulte de la prop. 11, et de la formule (33) du $ 1,
no 4.
8. Une propriété de transitivité.
X
Soit X un espace localement compact dans lequel un
1
groupe localement compact 1-1 opère A droite, continûment et proprement, par (z, E) -+ zE (x E X, E t H). Soit
H' un sous-groupe ferme de H ; alors H' opkre à droite,
X / H
continûment et proprement, dans X. Nous rioterons
x, x', p les applications canoniques de X sur X/H, de X sur
X/H', et de H sur H/HF.
Soient p, (3' des mesures de lIaar à gauche sur II, H f ; on
suppose que A, et A,, coïncident sur H' ; on peut donc îormer
la mesure P/P' sur I-IIH', invariante à gauche par H (no 6,
th. 3). Soit d'aulre part p une mesure positive sur X telle que
pour E, E H ; on peut donc formcr les mesures p/P sur X/H et
p/Pr sur X/H' (no 2, prop. 4). Nous allons écrire p/p' comme I'intégrale, par rapport à p/P, d'une famille de mesures sur X/H'
indexées par les points de X/H. Lorsque H' = {el, on retrouvera la situation du no 3.
L'application (x, E) - $(XE) de
#Cc
X x H dans XII-1' est continue ;
X +
H
comme x' (XE) = xl(x<[') pour tout
XI
[' E I-1' , cette application définit
par passage au quotient une application continue de X x (H/H')
dans X/H' ; d'où, pour chaque x
fixé dans X, une application partielle w, de H/H' dans X/H1,