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INTEGRATION
chap. VII, § 2
G/Gf. Alors n(v) est une mesure positive bornée non nulle invariante par G. Donc la mesure de Haar à gauche du groupe G/G,
est barnée, de sorte que G/Gr est compact ( $ 1, no 2, prop. 2).
Par suite l'image de G par AG est un sous-groupe compact
de RT ; ce sous-groupe est réduit à (11, donc A, = 1 sur tout G.
7. Mesure de Haar sur un groupe quotient.
PROPOSITION 10. - Soient G un groupe localement compact, G' un sous-groupe distingué fermé, G" le groupe G/G1,
x l'application canonique de G sur G/G', a, cir, a" des mesures de
Haar à gauche sur G, Gr, G".
a) E n multipliant au besoin a par un facteur constant, on
a u" = u/cc'. E n particrrlier, si f E X(G),
b) On a A&) = A,,([) pour tout E G' ; en particulier,
si G est unimodulaire, G' l'est aussi.
c) Le noyau de la représentation A, de G dans R*, est le
plus grand sous-groupe distingué fermé unimodulaire de G.
En appliquant le th. 3 du no 6 avec x = 1 (et sachant qu'ici
il existe une mesure sur G/Gf invariante par G, à savoir cc"),
on obtient a) e t b) ; c) résulte aussitôt de b).
PROPOSITION 11. - O n conserve les notations de la prop.
10. Soif u un automorphisme de G tel que u(G1) = G'. Soient
u' la restriction de u à G', el un l'automorphisme de G" déduit
de u par passage aux quotients. Alors
mod ,(u) = rnod,~(u')mod,~(u").
E n effet, si a" = a/a', on a zlV(oc") = L~(u)/u'(u'), c'est-à-dire
mod,.(u')
r n ~ d ~ ~ ( u " ) - ~ u "
= m ~ d ~ ( u ) - h / m ~ d ~ , ( ~ l ' ) - ~ c c '
= mod ,(rr) ( w )
d'où la proposition.