b) Cette mesure est alors unique à u n facteur constant près ;
plus précisément, elle est proportionnelle a ( ~ . p ) / @ .
Pour qu'il existe sur G/H une mesure non nulle relativement invariante par G de multiplicateur X , il faut et il suffit
(lemme 6) que X. p soit de la forme A#, donc (no 2, prop. 4)
que S([)(X. p) = AH(E)(x. p) pour tout 6 E 13. Cette condition
s'écrit aussi x([)x. AG(& = AH(4)x. p, c'est-à-dire
pour tout % E H. D'où a). L'assertion b) résulte aussitôt du
lemme 6 et du fait que I'application A - A# est injective.
On verra au 3 3 (no 3, exemple 4) des exemples très simples
où la représentation E - AH(F)/AG(E;) ne se prolonge pas en une
représentation continue de G dans C*. Dans ce cas, il n'existe
donc aucune mesure complexe non nulle sur G/H relativement
invariante par G.
COROLLAIRE 1. - Pour qu'il existe sur G/H une mesure
positive non nulle relativement invariante par G , il faut et il sumt
qu'il existe une représentation continue de G dans R*, prolongeant
la représentation E - A,(k)/A&).
On notera que cette condition est remplie lorsque H est
unimodulaire.
COROLLAIRE 2. - Pour qu'il existe sur G/H une mesure
positive non nulle invariante par G, il faut et il suffit que A,
coïncide avec A, sur H .
COROLLAIRE 3. - On suppose que H est unimodulaire et
qu'il existe sur G / H une mesure positive bornée non nulle v
relativement invariante par G. Alors v est invariante, et G est
unimodulaire.
Soit x le multiplicateur de v. Pour tout s E G, v et y(s)v
ont même masse totale finie (5 1, no 1 , formule (6)) ; comme
y(s)v = x(s)-IV, on a ~ ( s )
= 1. Donc v est invariante. D'après
le cor. 2, AG(s) = 1 pour tout s E H. Soit G' l'ensemble des
t E G tels que AG(t) = 1. C'est un sous-groupe fermé distingué
de G contenant 1-1. Soit x I'appIication canonique de G/H sur