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INTÉGRATION
chap. VII, 5 2
partie compacte K de G, et telle que
h(xQdB(6) = 1 pour
SE
tout x E G. Pour qu'une fonction g sur G/H soit mesurable
(resp. localement intégrable, essentiellement intégrable, intégrable) pour A, il faut e t il sufit que h . ( g O n) le soit pour p. ;
et, quand g est essentiellement intégrable pour A, on a
6. Mesures relativement invariantes sur un espace homogène.
Soient toujours G un groupe localement compact, H un
sous-groupe fermé, P une mesure de Haar à gauche sur H.
Lemme 6. - Soient A une mesure sur G/H, x une représentation continue de G dans C*. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
a) h est relativement invariante sur G/H de multiplicateur x ;
b) A# est relativement invariante sur G de multiplicateur d
gauche x ;
c) A# est de la forme aX. p ( a E C).
La condition a) signifie que, pour tout s E G, on a
~ a / d s ) A = x(s)-'~ ;
ceci équivaut à (yQIH(s)A)# = X(s)-lh#, c'est-à-dire A
D'où l'équivalence de a) et b). L'équivalence de h) et c) rksulte
du 5 1, no 8, cor. 1 de la prop. 10.
THÉORÈME 3. - Soient G u n groupe localement compact,
H un sous-groupe fermé de G, p (resp. B) une mesure de Haar à
gauche sur G (resp. H), x une représentation continue de G dans
C*.
a) Pour qu'il existe sur G/H une mesure non nulle relativement invariante par G et de multiplicateur X, il faut et il suffit
que ~ ( t )
= A,(O/AQ(E) pour tout E; E: H.