Alors on a
(20)
y Gl,(s)~ = %(sr1, . ) . A pour tout s E G.
a) résulte dc la prop. 7.
b) résulte des lcmrnes 5 et 4.
c) résulte de (17).
Remarques. - 1) On déduit de la remarque 1 du no 3 que les
mesures quasi-invariantes non nulles sur G/H ne sont autres que
les mesures pscudo-images par x d'unc mesure de Haar sur G.
"2) Si G est un groupc de Lie, nous verrons plus tard qu'on
peut choisir la fonction p du th. 2 indéfiniment différentiable.*
Dans les conditions du th. 2, certains résultats des nos 3
e t 4 se spécialisent ainsi (compte tenu du chap. V, 5 4, th. 2
et prop. 2 pour passer des propriétés relatives h p aux propriétés
relatives à p . p) :
a) Soit f une fonction p-mesurable sur Cr, a valeurs dans un
espace topologique, constante hors d'unc rkunion dénombrable
d'ensembles p-intégrables ; alors l'cnscmble des 2 E G/I I tels
que la fonction 6 -/(XE) ne soit pas p-mesurable est localement
A-négligeable.
b) Soit f une fonction p-mesurable 3 0 sur Gy nulle hors
d'une réunion dénombrable d'ensembles p-intégrables. Alors
*
la fonction 2 -Sa /(xE)dP([) sur G/H est A-mesurable et on a
c) Soit f une fonction p-intcgrahle sur G, à valeurs dans
un espace de Banach ou dans fa. Alors l'ensemble des x E G/H
tels que t - f(xt) ne soit pas p-intégrable est A-négligeable ;
P
la fonction i -J f(z[)dp(E) est A-integrable, et
H
d) Il existe sur G une fonction continue h 2 0, dont le
support a une intersection compacte avec le saturé KI3 de toute