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INTÉGRATION
chap. VII, 9 2
y,(sjhl# par rapport à A'# sont égales localement p-presque
partout, donc (lemme 3 ) h# et A'# sont proportionnelles, donc
A et A' sont proportionnelles.
D'autre part, le lemrrie 4 ramène la recherche des mesures
quasi-invariantes non nulles sur G/H a celle des mesures sur G
équivalentes à la mesure de Haar et de la forme A#. On a a ce
sujet le lemme suivant :
Lemme 5. - Soient p m e mesure de Haar à gauche sur G,
et p une fonction localement p-intëgrable. Pour que p . p soit de
la forme A # , il faut et il suffit que, pour tout E E H , on ait
docalenene p-presque partout sur G.
Dire que p. p est de la forme A* revient à dire que, pour tout
E E H, on a ~ ( S ) ( Q P) = A H ( E ) ~ .
11. (prop. 4). Or
d'où le lemme.
Nous pouvons maintenant établir le résultat d'existence
annoncé, et même un résultat plus précis :
THÉOREME 2. - Soient G u n groupe localement compact,
H u n sous-groupe fermé de G, p une mesure de Haar à gauche
sur G, p une mesure de Haar à gauche sur H.
a) I l existe des fonctions p continues > O sur G telles que
p(xQ =
p(x) quels que soient x t G et 6 E H.
b) Etant donnie une telle fonction p, on peut former la mesure
h = (p. p)@ sur G/H, el A est une mesure positiue non nulle quasiinvariante par G.
C) Pour s, x dans G, p(sx)/p(x) ne dipend que de s et x(x), donc
définit une fonction continue > O sur G x (G1I-I) telle que