fout s E G, ln densité O, de Y ~ , ~ ( S ) A
par rapport à A est telle que
localement p-presque partout sur 4;.
c) => b) : cela résulte aussitôt de la prop. 6 a).
b) =- a) : si la propriété b) est vérifiée, l'ensemble des
parties de G/H localement A-négligeables est invariant par G,
donc A est quasi-invariante par G.
a) 3 c) : supposons A quasi-invariante par G ; pour tout
s E G, A et y,,,(s)A sont équivalentes, donc A# et
sont équivalentes (cor. 1 de la prop. 6) ; comme A# # O, A# est
équivalente Ci p ($1, no 9, prop. 11).
E n outre, pour tout s E G, on a
d'où (17).
L'écpivalence de a) et b) entraîne d'abord le résultat d'unicité déjà annoncé, et même un résultat plus précis :
THÉORÈME 1. - Soient G un groupe localement compact,
H un sous-groupe fermé de G.
a) Deux mesures quasi-invariantes non nrzlles sur G/H sont
équivalentes ; les parties de G/H locnlemenf négligeables pour ces
mesures sont celles dont l'image réciproque dans G sonf localement
négligeables pour une mesure de Haar.
b) Soient A, A' deux mesures quasi-invariantes non nulles
sur G/H. Si, pour tout s E G, les densités de yG,,(s)A par rapport
à A et de yGIH(s)Ar par rapport à A' sont égales localement presque
partout pour A (ou A' ), A et A' sonf proportionnelles.
a) résulte aussitôt du lemme 4. Soient A et A' deux mesures
quasi-invariantes non nulles vérifiant la condition de b). Alors,
pour tout s E G, les densités de y,(s)A# par rapport à A# et de