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INTÉGRATION
chap. VII, 5 2
p-presque partout, d'après le cor. 2 de la prop. 6 appliqué
avec X = H = G.
Soient G un groupe localement compact, H un sous-groupe
fermé de G. Considérons l'espace homogène G/H des classes
à gauche suivant FI, sur lequel G opère continûment à gauche.
Nous allons montrer qu'il existe une classe et une seule de mesures
quasi-invariantes non nulles sur G/H.
Remarquons que H opère sur G continûment et proprement par translations a droite ; et l'espace quotient, qui n'est
autre que G / H , est paracompact ( T o p . Gén., chap. I I I , 3 e éd.,
5 4, no 6, prop. 13). On peut ainsi appliquer les résultats des
nos 1 à 4, avec X = G. On a donc des applications f - f b de
T ( G ) sur Z ( G / H ) , et h - A " e A ( G / H ) dans A ( G ) (une fois
fixée une mesure de Haar & gauche fl dans H). Le fait que G
opère à gauche dans G / H donne lieu à une propriété supplémentaire :
En effet, pour tout x E G, on a
d'où la formule (15), qui entraîne la formule (16).
Lemme 4. - Soient h une mesure # O sur G/H et p. une
mesure de Haar à gauche sur G. Les propriétés suivantes sont
équivalentes :
a) A est quasi-invariante par G ;
b) pour qu'une parfie A de G / H soit localement A-négligeable,
il faut et il suffit que x-l(A) soit localement p-négligeable ;
c) la mesure h# est équivalente à p.
Supposons qu'il en soit ainsi, et soit A# = p.p, p étant une
fonction localement p-intégrable partout non nulle. Alors, pour