récurrence une suite d'ensembles ouverts relativement compacts
U, de X/H, tels que Un+, 3 K, u Ü,L, et soit V la r h n i o n des
U,. Alors V est une partie ouverte de X / H , réunion dénombrable de parties compactes Ü, , donc paracompacte ( T o p .
ph, cliap. 1, 3 éd., 5 9, no 10, th. 5 ) . Posons Y = TC-l(V) et
soit A, (resp. A!) la mesure induite par A (resp. hg) sur V (resp.
Y). II cst clair que Y/II s'identifie à V ( T o p . gin., chap. 1,
3 e éd., 3 3, prop. 10) et que A$ s'identifie à (A,)#. De plus, f
cst nulle en dehors de V et appartient a -Y"(\', A , . ) . 11 existe
donc g E 5YLPI(Y, Ag) teIle que gb = f presque partout sur V.
En prolongeant g par O sur X - Y, on obtient unc fo~ictioii
gl E 9 ( X , A#) et il est clair que la classe de g\ dans L1(X/H, A)
n'est autre que u.
Kcmarque 3. - Supposons X/II paracompact et gardons
les notations de la proposition 9. L'application k - h(k O TC) de
L 1 ( X / H , A) dans L 1 ( X , A # ) c.st alors isomktripe d'après (14) et
est inverse a droite de l'application f - f b de L 1 ( X , A#) sur
L1(X/E 1, A).
5. Mesures quasi-invariantes sur un espace homogène.
Lemme 3. - Soient G rrn groupe 1oc.ni~nîent compact, p
une mesure de I-laar cX gccuche sur G, \) et v' denx mesures non
nulles quasi-invariantes sur G. S i , pour fout s E Cr, les densités
de y(s)v par rapport a v et de y(s)vr prrr rcipport ri v' sont Égales
localement p-presque partorri, v et V' sont proporlionnelles.
Ecrivons v = p . p, v f = p f . p où p, p sont des fonctions
localement p-intégrables sur G et partout rion nulles (9 1,
no 9, prop. 11). Pour tout s E G, on a
et l'hypothèse entraîne que p-l . y(s) p = pl-l . y(s) p' localement
p-presque partout. Posons a = p l / p , qui est une fonction
p-rnesurable sur G. Pour tout s E G, on a y(s)o = o localement
p-presque partout. Donc o est égale à une constante localement
U, de X/H, tels que Un+, 3 K, u Ü,L, et soit V la r h n i o n des
U,. Alors V est une partie ouverte de X / H , réunion dénombrable de parties compactes Ü, , donc paracompacte ( T o p .
ph, cliap. 1, 3 éd., 5 9, no 10, th. 5 ) . Posons Y = TC-l(V) et
soit A, (resp. A!) la mesure induite par A (resp. hg) sur V (resp.
Y). II cst clair que Y/II s'identifie à V ( T o p . gin., chap. 1,
3 e éd., 3 3, prop. 10) et que A$ s'identifie à (A,)#. De plus, f
cst nulle en dehors de V et appartient a -Y"(\', A , . ) . 11 existe
donc g E 5YLPI(Y, Ag) teIle que gb = f presque partout sur V.
En prolongeant g par O sur X - Y, on obtient unc fo~ictioii
gl E 9 ( X , A#) et il est clair que la classe de g\ dans L1(X/H, A)
n'est autre que u.
Kcmarque 3. - Supposons X/II paracompact et gardons
les notations de la proposition 9. L'application k - h(k O TC) de
L 1 ( X / H , A) dans L 1 ( X , A # ) c.st alors isomktripe d'après (14) et
est inverse a droite de l'application f - f b de L 1 ( X , A#) sur
L1(X/E 1, A).
5. Mesures quasi-invariantes sur un espace homogène.
Lemme 3. - Soient G rrn groupe 1oc.ni~nîent compact, p
une mesure de I-laar cX gccuche sur G, \) et v' denx mesures non
nulles quasi-invariantes sur G. S i , pour fout s E Cr, les densités
de y(s)v par rapport a v et de y(s)vr prrr rcipport ri v' sont Égales
localement p-presque partorri, v et V' sont proporlionnelles.
Ecrivons v = p . p, v f = p f . p où p, p sont des fonctions
localement p-intégrables sur G et partout rion nulles (9 1,
no 9, prop. 11). Pour tout s E G, on a
et l'hypothèse entraîne que p-l . y(s) p = pl-l . y(s) p' localement
p-presque partout. Posons a = p l / p , qui est une fonction
p-rnesurable sur G. Pour tout s E G, on a y(s)o = o localement
p-presque partout. Donc o est égale à une constante localement