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INTÉGRATION
chap. VII, 8 2
de Bantrch ori dans 5. P o u r que k soit mesumLIe (resp. localerniint
i~ifégrable, essenliellement intégrable, intégrable) pour A, il faut
et il s u f i l que 11. (k O x) le soit pour A 2 ; et, si k est essentiellement
infr'grcxble pour A, on rr
Soit f E X(X/H). Alors h . (f O x) E Y ( X ) et l'on a
d'où a). L'assertion b) se démontre de même. Les assertions
(le c) concernant la mesurabilité, I'intégrabilité essentielle e t la
formule (14) s'obtiennent alors en appliquant les résultats du
chap. V ($4, prop. 3, $ 5 , prop. 4, 4, th. 2). Si k est A-intégrable,
h . (k O n) est A#-intégrable (chap. V, $ 3, no 4, th. 1). Si h . (k O x )
est A#-intégrable, la prop. 5 prouve que (h.(k O x))b = hb.k = k
est kintegrabie. Si k est localement A-intégrable, h . (k O x )
est localement A#-intégrable (prop. 6). Enfin, supposons h . (k o x )
localement 1%-intégrable ; pour toute f E Z(XIH), h . (k O x ) . (f O x )
est à support compact, et
en posant M = sup 1 f ( ; donc h . ( ( k f ) O n) est A#-intégrable, e t
par suite kf est h-intégrable d'après ce qu'on a déjà démontré ;
ceci prouve bien que Ir est localement A-intégrable.
COROLLAIRE. - L f ~ p p 1 i c a t i o n linéaire continue f - f b de
L 1 ( X , A%) dans L1(X/H, A) définie par Ia prop. 5 est surjective.
Supposons d'abord X/H paracompact et soit h une fonction sur X satisfaisant aux conditions de la prop. 8. Si k est
une fonction numérique essentiellement A-intégrable, h . (k O x )
est essentiellement A#-intégrable, et évidemment (h . (k O 4 ) b = k.
Dans le cas général, soit u E L1(X/H, h). Il existe une fonction f E S ( X / H , A), de classe u et nulle en dehors d'une réunion dénombrable d'ensembles compacts K,. Définissons par