PROPOSITION 8. - Supposons X / H paracompact. Il exisie
une fonction h 3 O continue dans X , dont le support a une intersection compacte avec le saturé de toute partie compacte de X , et
telle que hb = 1. Pour une telle fonction, on a g = (h.(g O x))b
quelle que soit la fonction g continue dans X / H .
Appliquons la prop. 1 du no 1 , avec x = 1, en prenant pour
f une fonction 2 O non identiquement nulle sur chaque orbite.
On a fl(x) > O en tout point x de X . Posons h = f / f l . Alors
hl = fl/fl = 1, donc hb = 1. Si g est une fonction continue sur
X / H , on a donc ( h . (g O x))b = hb . g = g.
Remarques. - 1) E n particulier, soit X un espace localement compact sur lequel opère A droite, continûment et proprement, un groupe discret D ; supposons X / D paracompact.
Alors il existe sur X une fonction continue h 3 0, dont le support a une intersection compacte avec le saturé de toute partie
compacte de X , et telle que 2 h(xd) = 1 pour tout x E X
d€D
(tous les termes de la somme étant nuls sauf un nombre fini
d'entre eux).
2) Conservons les hypothèses et les notations de la prop. 8.
L'application g - h.(g o z ) est une application continue de
. f ( X / H ) dans Y(X) qui est inverse à droite de l'application
f - f b . Par suite, toute partie bornée (resp. compacte) de X ( X / H )
est l'image d'une partie bornée (resp. compacte) de X ( X ) .
On en déduit aussitôt que l'application h - hg est encore un
isomorphisme de A ( X / H ) sur un sous-espace vectoriel fermé
de A ( X ) quand on munit ces espaces de la topologie de la convergence bornée (resp. compacte).
PROPOSITION 9. - On conserve les hypothèses et les notations
de la prop. 8. Soit A une mesure positive sur X / H .
a) Le couple (x, h) est A#-adapté, el
h(x)c,(,~dh#(x) = A.
Sx
b) L'application x est propre pour la mesure h . Ag, et
x(h .A%) = A.
c) Soit k une fonction sur X / H , à valeurs dans u n espace
une fonction h 3 O continue dans X , dont le support a une intersection compacte avec le saturé de toute partie compacte de X , et
telle que hb = 1. Pour une telle fonction, on a g = (h.(g O x))b
quelle que soit la fonction g continue dans X / H .
Appliquons la prop. 1 du no 1 , avec x = 1, en prenant pour
f une fonction 2 O non identiquement nulle sur chaque orbite.
On a fl(x) > O en tout point x de X . Posons h = f / f l . Alors
hl = fl/fl = 1, donc hb = 1. Si g est une fonction continue sur
X / H , on a donc ( h . (g O x))b = hb . g = g.
Remarques. - 1) E n particulier, soit X un espace localement compact sur lequel opère A droite, continûment et proprement, un groupe discret D ; supposons X / D paracompact.
Alors il existe sur X une fonction continue h 3 0, dont le support a une intersection compacte avec le saturé de toute partie
compacte de X , et telle que 2 h(xd) = 1 pour tout x E X
d€D
(tous les termes de la somme étant nuls sauf un nombre fini
d'entre eux).
2) Conservons les hypothèses et les notations de la prop. 8.
L'application g - h.(g o z ) est une application continue de
. f ( X / H ) dans Y(X) qui est inverse à droite de l'application
f - f b . Par suite, toute partie bornée (resp. compacte) de X ( X / H )
est l'image d'une partie bornée (resp. compacte) de X ( X ) .
On en déduit aussitôt que l'application h - hg est encore un
isomorphisme de A ( X / H ) sur un sous-espace vectoriel fermé
de A ( X ) quand on munit ces espaces de la topologie de la convergence bornée (resp. compacte).
PROPOSITION 9. - On conserve les hypothèses et les notations
de la prop. 8. Soit A une mesure positive sur X / H .
a) Le couple (x, h) est A#-adapté, el
h(x)c,(,~dh#(x) = A.
Sx
b) L'application x est propre pour la mesure h . Ag, et
x(h .A%) = A.
c) Soit k une fonction sur X / H , à valeurs dans u n espace