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INTÉGRATION
chap. VII, § 2
2) Supposons H compact et P normalisée. Le saturé de
toute partie compacte de X est compact. Donc, si f E S ( X / H ) ,
on a' f o x E S ( X ) ; et, pour toute mesure positive A sur X/H,
la prop. 5c) donne
Autrement dit, A est l'image de ha par x.
3) Le cor. 3 c) de la prop. 6 montre aussitôt que les résultats de ce no restent valables dans le cas des mesures complexes
(sauf ceux qui font intervenir l'intégrale supérieure).
4) Soit m une mesure vectorielle sur X/H il valeurs dans E
et soit q une semi-norme semi-continue inférieurement sur E.
Pour que m soit q-majorable (chap. VI, § 2, no 3, déf. 3), il faut
e t il suffit que m# le soit, et on a alors q(m#) = q(m)#. Ceci résulte
aussitat des définitions et du cor. 3 a).
Soit d'autre part p une mesure positive sur X/H. Pour que
rn soit scalairement de base t ~ ,
il faut et il suffit que m# soit scalairement de base t ~ # : cela résulte du cor. 1.
Enfin, si m est de base p, de densité f par rapport il p (chap. V I ,
fi 2, no 4, déf. 4), alors m# est de base Er#, de densité f O x : cela
resulte de la prop. 6 c).
4. Cas où X / H est paracompact.
Si X/H est paracompact, on va voir d'abord que les espaces
vectoriels ZX(X), pour x variable, sont tous isomorphes entre
eux, et en particulier isomorphes Zi jT1(X).
PROPOSITION 7. - Supposons X/H paracompact. Soit x
une représentation continue de H dans PI?.
a) I l existe sur X une fonction continue r, a valeurs > 0,
telle que r(xt) = ~ ( E ) r ( x )
quels que soient x E X et 5 E H.
b) L'applicafion g - glr est un isomorphisme de l'espace
vectoriel YX(X) sur l'espace vectoriel S1(X).
Appliquons la prop. 1 du no 1 en prenant pour f une fonction 2 O non identiquement nulle sur chaque orbite (c'est possible d'après le lemme 1 de l'Appendice 1) ; alors r = f X vérifie
les propriétés de a). L'assertion b) est évidente.