tout E, EH. Il existe alors (prop. 4) une mesure A' sur X/H
telle que p. = A'#. D'apres le cor. 1, il existe une fonction localement A-intégrable g sur X/H telle que A' = g . A. D'après la
prop. 6, on a f . A# = A'# = (g O 7 ~ ) .
A#, d'où f = g O x localement A#-presque partout.
COROLLAIRE 3. - a) Soit (A,),,I une famille de mesures
réelles sur X/H. Pour que la famille (A,) soit majorée dans A(X/H),
il faut et il suffit que la famille (hf) soit majorée dans .,&(XI,
et on a alors
s~p(A?) = (sup A,)#.
b) Soit A une mesure réelle sur X/H. On a (A+)# = (hg)*
et (A-)# = (A#)-.
c) Soit A une mesure complexe sur X/H. On a I A J g = IA#I.
Supposons la famille (A,) majorée et posons p. = sup A, .
Puisque A 2 O entraîne A# 2 O, on a p# > A? pour tout L
ce qui montre que la famille (A?) est majorée et que
Réciproquement, supposons la famille (hg) majorée et soit
v = sup (hg). Puisque S(k)hP = A,(k)Af pour tout E, E H, on
a évidemment S(Qv = AH([)v, donc il existe une mesure
p' E d ( X / H ) telle que v = p.'#. Comme A# 2 O entraîne A 2 0,
on a p'
A, pour tout 1, ce qui montre que la famille (A,) est
majorée et que v =
2 (sup A,)#, d'où
ce qui achève la démonstration de a). L'assertion b) en résulte
aussitôt, puisque A+ par exemple n'est autre que sup(A, O).
Pour démontrer c), il sufit de remarquer que 1l.l = sup g ( d )
pour oc nombre complexe de module 1, et d'autre part que
%' (p.#) = (Wp)* pour toute p E .A(X/H).
Remarques. - 1) La prop. 6 a) peut s'exprimer en disant
que A est une mesure pseudo-image de A# par x (chap. VI, 5 3,
no 2, déf. 1).
BOURBAKI, XXIX
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