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INTÉGRATION
chap. VII, 5 2
partie compacte de X/H. Soit f E Y + ( X ) , telle que fb = 1 dans
K r (no 1, prop. 2), et soit K = Supp f ; on a x(K) 2 K'. 11
existe une partition de K formée d'un ensemble A#-négligeable
M et d'une suite (K,) d'ensembles compacts tels que (g O x ) 1 K,
soit continue pour tout n. Alors glx(K,) est continue. Soit P l'ensemble des points de K n'appartenant pas à x(KJ u 7t(K2) u . . . ;
alors r l ( P ) n K est contenu dans M, donc est A#-négligeable ;
donc f .cp,-~(~) est A#-négligeable ; on en déduit (prop. 5)
donc P est A-négligeable, et g est A-mesurable.
Si N est localement A-négligeable, x-l(N) est localement
A#-négligeable (App. 2). Si g est A-mesurable, g O x est A#-mesurable (ibid.). Enfin, supposons h localement A-intégrable.
Alors on sait déjà que h o x est A#-mesurable. Pour toute
f E Z+(X), on a, d'après la prop. 5,
donc h O x est localement A#-intégrable.
COROLLAIRE 1. - Soient A, A' deux mesures positives sur
X/H. Pour que A' soit de base A, il faut et il suffit que A'# soit de
base A#. Pour que A et A' soient équivalentes, il faut et il suffit
que A# et A'# soient équivalentes.
La première assertion résulte de la prop. 6, a) et c). La
deuxième résulte de la première.
COROLLAIRE 2. - Soient A une mesure positive sur X/H,
et f une fonction numérique A#-mesurable sur X. On suppose
que, pour tout [ E H, on ait S(E,)f = f localement A#-presque partout. Alors il existe une fonction h-mesurable g sur X/H telle que
f = g O x localement A#-presque partout.
En remplaçant f par f/(l + If\), on se ramène au cas où
f est bornée, donc localement A#-intégrable. Soit p = f.A#.
L'hypothèse sur f entraîne que S([)p = f.S(t)A# = A,(()p pour