d ) Soit f une fonction A#-mesurable sur X , à valeurs dans
u n espace de Banach oir dans k, et nulle hors d'une réunion
dénombrable d'ensembles A#-intégrables. Alors, pour que f soit
A#-intégrrrble, il faut et il sufit que
Compte t e n u d u lemme 2, a), b ) , c ) résultent d u chap. V ,
$ 3, prop. 3, prop. 4 e t t h . 1 (à l'exception de (13) qui resulte
de (12), car il est clair que I f b ( 4 I f l b ) ; d) résulte de b).
PROPOSITION 6. - Soit A une mesure positive sur X / H .
a ) Soit N une parfie de X / H . Pour que N soit locdemenS
A-négligeable, il faut et il sufit que x-l(N) soit localement A#négligeable.
b) Soit g une f~nction sur X / H , a valeurs dans u n espace
iopologiqrie. Pour que g soit A-mesurable, il faut et il su@t que
g O x soit hg-mesurable.
c) Soit h une fonction sur X / H a valeurs dans u n espace de
Banach ou dans k. Pour que h soit locctlement A-intégrable, il
faut el il sr@ que h O x soit localement A#-intégrable, et l'on a
alors (h . A)# = (h O x ) . A#.
Supposons h O x localement A#-intégrable. Pour toute
f E . X ( X ) , f . ( h O TC) est A#-intégrable, donc (prop. 5 ) la fonction
( f . (h O x))b = f b . h est A-intégrable e t l'on a
Comme f - f b est une application surjective de X ( X ) sur X(X/H),
cela montre que h est localement A-intégrable e t que
En particulier, si x-l(N) est localement A#-négligeable, cp, O x
est localement A#-négligeable, donc (Y,. A)# = (cp, O x) . A# = 0,
et par suite cpN. h = O et N est localement A-négligeable. Maintenant, supposons que g O n soit A#-mesurable. Soit K' une