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INTÉGRATION
chap. VIT, 5 2
Puisque f b E X ( X / H ) pour f E X ( X ) , la formule (8) prouve
que l'application u - P, de X/H dans d ( X ) est vaguement
continue, que la famille (Pu) est A-adéquate quelle que soit la
mesure positive A sur X/H, et que
ce qui fournit u n e nouvelle interprétation de A#.
PROPOSITION 5. - Soit h une mesure positive sur X / H .
a) Soit f une fonction ?,#-mesurable sur X , à valeurs dans
u n espace topologique, constante hors d'une réunion dénombrable
d'ensembles Ag-intégrables. Alors, l'ensemble des x E X / H tels que
la fonction [ - f(xt) ne soit pas P-mesurable est localement A-négligeable.
b) Soit f une fonction A#-mesurable 3 0 sur X , nulle hors
d'une réunion dénombrable d'ensembles A#-intégrables. Alors la
fonction x - f(x[)dp([) sur X / H est A-mesurable, et l'on a
S*
c) Soit f une fonction A#-intégrable sur X , a valeurs dans
un espace de Banach ou dans %. Alors l'ensemble des x E X / N
tels que 5 -+ f ( x [ ) ne soit pas p-intégrable est A-négligeable ; la
fonction fb sur X / H définie presque partout par la formule
est A-intégrable, et l'on a